Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

0 und x > a, und im Bereich 0 ≤ x ≤ a fällt sie exponentiell ab.
    Abbildung 4.11 zeigt die Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x)| 2 .
     
    Abbildung 4.11 : |ψ(r)| 2 für eine Potentialbarriere mit E < V 0
Reflexions- und Transmissionskoeffizienten bestimmen
    Aber was ist mit den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten R und T? Für sie gilt:

    Wie Sie sich denken können, muss man die Stetigkeitsbedingungen benutzen, um A, B und E zu bestimmen:

    Ein schönes Stückchen Algebra und Trigonometrie ist erforderlich, um damit R und T zu bestimmen; hier folgen nun die Ergebnisse für R und T:

    Ende der Rechnung: Diese Ausdrücke sind in der Tat mathematisch etwas kompliziert, doch das wirklich Erstaunliche daran ist, dass sie besagen, dass es eine Wahrscheinlichkeit gibt, dass ein Teilchen, das auf die Potentialschwelle trifft, diese Schwelle durchdringen kann!
    Ein klassisches Teilchen würde für E < V 0 immer von der Barriere reflektiert werden. Der Quantenphysik zufolge gibt es dagegen auch in diesem Fall eine endliche Durchgangswahrscheinlichkeit. Den Namen für dieses rein quantenmechanische Phänomen haben Sie sicher schon gehört: Das ist der sogenannte Tunneleffekt. Und Sie haben ihn gerade mathematisch beschrieben!
Hindurch tunneln
    Das Tunneln ist eines der spannendsten Ergebnisse der Quantenphysik; es bedeutet, dass sich Teilchen aufgrund der Ausdehnung der Wellenfunktionen durch klassisch verbotene Bereiche bewegen können. Das ist selbstverständlich ein mikroskopischer Effekt – versuchen Sie niemals, durch geschlossene Türen zu gehen –, aber er ist sehr wichtig. Unter anderem ermöglicht das Tunneln das Funktionieren von Halbleitertransistoren und integrierten Schaltkreisen.
    Wenn Tunneln eine Rolle spielt, kann man, ausgehend von einer bestimmten Einfallsintensität, den Transmissionskoeffizienten berechnen, der die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Teilchen den Bereich durchdringt. Im obigen Abschnitt ist das relativ einfach, da die Barriere, die das Teilchen durchtunneln muss, rechteckig ist. Aber im Allgemeinen ist es nicht so einfach den Transmissionskoeffizienten zu bestimmen. Doch lesen Sie weiter.
Die Transmission mit der WKB-Methode bestimmen
    Die Methode, die man im Allgemeinen benutzt, um den Transmissionskoeffizienten zu bestimmen, beruht darauf, das Potential, mit dem man arbeitet, in eine Folge von rechteckigen Barrieren zu zerlegen, die man dann aufsummiert. Dieser Weg heißt Wentzel-Kramers-Brillouin -Methode (WKB-Methode): die Behandlung eines Potentials V(x) als eine Summe von recheckigen Potentialbarrieren.
    Das Ergebnis der WKB-Methode ist, dass der Transmissionskoeffizient für ein Teilchen der Masse m und der Energie E in einem beliebigen Potential V(x) durch folgenden Ausdruck gegeben ist (er gilt so lange, wie V(x) eine glatte, sich nur langsam ändernde Funktion ist):

    So, jetzt können Sie Ihre Freunde damit überraschen, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der ein Teilchen durch ein beliebiges Potential tunnelt. Das ist natürlich ein Stoff für Science-Fiction – aber auf der mikroskopischen Ebene funktioniert es.

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ungebundene Teilchen
    Was ist mit Teilchen außerhalb von sämtlichen Potentialtöpfen – also mit freien Teilchen? Es gibt eine Unmenge von Teilchen, die sich frei im Universum bewegen, und die Quantenphysik kann Einiges über sie sagen.
    Die Schrödinger-Gleichung lautet:

    Was ist, wenn das Teilchen ein freies Teilchen mit V(x) = 0 ist? In diesem Fall hat man die folgende Gleichung:

    Diese kann man wie folgt schreiben:

    wobei k 2 = 2mE/ 2 ist.
    Die allgemeine Lösung für diese Schrödinger-Gleichung ist:

    Ergänzt man die Zeitabhängigkeit zu dieser Gleichung, so erhält man folgende zeitabhängige Wellenfunktion:

    Das ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung, doch erscheint sie sehr unphysikalisch. Um das zu erkennen, beachte man, dass man für keinen der beiden Terme in der Gleichung die
    Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x)| 2 normalisieren kann (mehr über das Normalisieren steht in dem Abschnitt »Die Normalisierung der Wellenfunktion«):

    Was geht hier vor? Die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort eines Teilchens ist für alle x gleich! Mit anderen Worten, Sie können den Ort des Teilchen nicht genau bestimmen.
    Das Ergebnis beruht auf der Form der zeitabhängigen Wellenfunktion, die den genauen Wert der Wellenzahl k benutzt sowie p =k und E =k 2 /2m. Die Gleichung besagt