Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

für x > a
    Aber was ist, wenn Sie seine Eigenschaften so ändern wollen, dass der Potentialtopf symmetrisch zum Ursprung ist? Das bedeutet, dass Sie den Potentialtopf so verschieben, dass er von –a/2 bis +a/2 reicht. In diesem Fall gilt für den neuen unendlichen rechteckigen Potentialtopf folgendes:
    V(x) = ∞, für x < –a/2
    V(x) = 0, für –a/2 ≤ x ≤ a/2
    V(x) = ∞, für > a/2
    Das bedeutet aber auch, dass man die Wellenfunktion für den symmetrischen rechteckigen Potentialtopf nicht neu bestimmen muss, sondern die Lösung aus der bereits bekannten Wellenfunktion für den asymmetrischen Potentialtopf ableiten kann:

    Mithilfe der Trigonometrie erkennt man, dass sich die Lösungen für gerade und ungerade Bindungszustände getrennt darstellen lassen:

    Dies ist eine Folge der Spiegelsymmetrie des Potentials. Es ist offensichtlich, dass sich die geraden und ungeraden Zustände mit anwachsender Energie miteinander abwechseln:

    Und so weiter.
    Beachten Sie, dass der Kosinus symmetrisch zum Nullpunkt ist: ψ(x) = ψ(–x). Der Sinus ist dagegen antisymmetrisch: –ψ(x) = ψ(–x).

Begrenztes Potential: Einen Blick auf Teilchen und Potentialstufen
    Wirklich unendliche Potentiale (wie die im vorigen Abschnitt diskutierten), treten in der Realität kaum auf. In diesem Abschnitt werden Sie einige realistischere Beispiele kennenlernen, wo das Potential einen endlichen Wert V 0 annimmt und nicht unendlich ist. Betrachten Sie beispielsweise die Abbildung 3.4. Dort bewegt sich ein Teilchen auf eine Potentialstufe zu. Im Moment befindet sich das Teilchen in einem Bereich, in dem das Potential V = 0 ist, doch gleich wird es den Bereich V = V 0 erreichen.
    Betrachtet man die Energie E des Teilchens, so sind zwei Fälle zu unterscheiden:
    E > V 0 : Klassisch betrachtet erwarten Sie im Fall E > V 0 , dass das Teilchen in der Lage ist, seinen Weg in das Gebiet x > 0 fortzusetzen.
    E < V 0 : Wenn E < V 0 ist, erwarten Sie, dass das Teilchen zurückprallt und nicht in der Lage ist, seinen Weg in das Gebiet x > 0 fortzusetzen.
    In diesem Abschnitt betrachten Sie zunächst den Fall, dass die Energie E des Teilchens größer ist als das Potential V 0 , wie in Abbildung 4.4 dargestellt. Anschließend wird der Fall E < V 0 behandelt.
     
    Abbildung 4.4 : Eine Potentialstufe mit E > V 0

Angenommen, das Teilchen hat genügend Energie
    Die Energie E des Teilchens soll in diesem Fall größer als das Potential V 0 sein. Behandelt man die Situation nun quantenmechanisch, so sieht die Schrödinger-Gleichung folgendermaßen aus:
    Im Gebiet x < 0:
Dabei ist k 1 2 = 2mE/ 2 .
    Im Gebiet x > 0:
In dieser Gleichung ist k 2 2 = 2m(E-V 0 )/ 2 .
    Somit ändert sich k beim Übergang von einem Bereich in den anderen, wie man in Abbildung 4.4 erkennt.
    Behandelt man die erste Gleichung wie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, so lautet die allgemeine Lösung wie folgt:

    Löst man die zweite Gleichung für x > 0, so erhält man:

    Man beachte, dassebene Wellen beschreibt, die sich in x-Richtung ausbreiten undebene Wellen, die sich in die entgegengesetzte Richtung (nach –x) bewegen.
    Diese Lösung besagt, dass Wellen von links auf die Potentialstufe treffen können und dann entweder transmittiert (durchgelassen) oder reflektiert werden. Aufgrund dieser Ausgangslage kann die Welle nur nach links reflektiert werden, aber nicht nach rechts: folglich muss D gleich null sein. Demnach sehen die Wellengleichungen wie folgt aus:
    Für x < 0:
    Für x > 0:
    Der Termbeschreibt die einfallende Welle, der Termdie reflektierte Welle undist die transmittierte Welle.
Die Wahrscheinlichkeit von Reflexion und Transmission bestimmen
    Man kann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen an der Potentialstufe reflektiert oder transmittiert wird, bestimmen, indem man die Reflexions - und Transmissionskoeffizienten berechnet. Wenn J e die einfallende Stromdichte ist, J r die reflektierte und J t die transmittierte, so berechnet sich der Reflexionskoeffizient R wie folgt:

    Der Transmissionskoeffizient T ist gegeben durch:

    Nun müssen also J r , J e und J t berechnet werden. Zunächst wird J e bestimmt. Das ist nicht allzu schwer, wenn man die Definition für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte kennt. Sie lautet ganz allgemein:

    Da der einfallende Anteil der Welleist, gilt für die einfallende Stromdichte:

    Vereinfacht man diesen Ausdruck, so erhält man für die Stromdichte der einfallenden Welle folgenden Ausdruck:

    Die Stromdichten J r und J t sehen