Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Auslenkung und t die Zeit ist:

    Setzt man dies für a ein, so kann man die Gleichung für die Kraft in der folgenden Form schreiben:

    Teilt man durch die Masse des Teilchens, so erhält man:

    Berücksichtigt man(wobei ω die Kreisfrequenz ist), so folgt:

    Man kann diese Gleichung für x lösen, wobei A und B Konstanten sind:

    Da die Lösung Sinus- und Kosinusterme enthält, die ja periodische Wellen beschreiben, stellt sie eine Schwingung dar.

Die Gesamtenergie in der Quanten-Schwingung
    Nun wird der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik betrachtet. Der Hamilton-Operator ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie – die Gesamtenergie des Systems:

    Beim harmonischen Oszillator gilt für diese Energien Folgendes:
    Die kinetische Energie zu jedem Zeitpunkt ist:

wobei p der Impuls des Teilchens und m seine Masse ist.
    Die potentielle Energie des Teilchens ist:

wobei k die Federkonstante und x die Auslenkung ist ( Man beachte: k fällt heraus, da).
    Deshalb schreibt man in der Quantenphysik den Hamilton-Operatorin der Form:

    Dabei ist P der Impuls- und X der Ortsoperator.
    Setzt man diesen Ausdruck für den Hamilton-Operator in die Schrödinger-Gleichung ein, so lautet diese in der Ortsdarstellung folgendermaßen:

    Wie Sie bereits wissen, kann man die Schrödinger-Gleichung aber auch in Form einer Zustandsgleichung ausdrücken:

    Die Aufgabe besteht also darin, die Eigenwerte und Eigenzustände des Operators H zu bestimmen. Man kann die Differentialgleichung mithilfe der Funktionentheorie lösen, was auf die sogenannten Hermite-Polynome führt, die Sie im Verlauf dieses Kapitels auch noch kennen lernen werden. Hier soll jedoch zunächst eine algebraische Methode benutzt werden, bei der durch die Anwendung geeigneter Operatoren auf einen Eigenzustand von H die anderen konstruiert werden.
    Setzt man dies in die Gleichung für den Hamilton-Operator ein, so ergibt sich die folgende Beziehung:

    Dabei genügen die hermiteschen Operatoren p und q der Vertauschungsrelation [q, p] = i.
    Im Anschluss daran werden die Operatoren a, a † und N eingeführt, die im eindimensionalen Fall keine unmittelbare physikalische Bedeutung haben. Dabei dienen die neuen Operatoren p und q als Basis für die Leiteroperatoren a und a † , die folgendermaßen definiert sind:

    Die Operatoren a und a † sind zueinander hermitesch konjugiert; für ihren Kommutator gilt:

    Da der Kommutator von q und p nach der oben angegebenen Vertauschungsrelation i ergibt, folgt

    Ersetzt man in der Gleichungdie Größen q und p durch a und a † , so ergibt sich:

    Mithilfe des Kommutators von a und a † kann man diese Gleichung wie folgt umformen:

    Führt man an dieser Stelle den Besetzungszahloperator N = a † a ein, so folgt:

    Der Operator N liefert die Besetzungszahl eines Energiezustands des harmonischen Oszillators. Bezeichnet man die Eigenzustände von N mit |n>, so erhält man folgenden Ausdruck, wobei n die Besetzung des n-ten Zustands angibt:

    Daund, ergibt sich aus den beiden obigen Gleichungen:

    Erstaunlicherweise erhält man so die Energieeigenwerte des n-ten Zustands des quantenmechanischen Oszillators. Die Energiezustände lauten wie folgt:
    Der Grundzustand entspricht n = 0:
    Der erste angeregte Zustand ist:
    Der zweite angeregte Zustand hat eine Energie von:
    Und so weiter. Das bedeutet, dass die Energieniveaus diskret und nicht-entartet sind (nicht von zwei Zuständen geteilt werden). Und das bedeutet wiederum, dass das Energiespektrum aus gleichweit voneinander entfernten Bändern besteht.

Algebraische Hilfsmittel
    Sie haben im vorangegangenen Abschnitt einige neue Operatoren und wichtige Kommutatoren dieser Operatoren kennen gelernt, die im Folgenden noch einmal zusammengefasst werden.
    Leiteroperatoren a und a † : Diese beiden Operatoren machen es einfacher, das Energiespektrum zu berechnen, ohne dass man viel Arbeit für die Auflösung nach den aktuellen Eigenzuständen aufwenden muss. Mit anderen Worten, man kann durch das Betrachten der Energiedifferenz zwischen verschiedenen Eigenzuständen das gesamte Energiespektrum verstehen.
In der Literatur gibt es eine Vielzahl weiterer Begriffe für die Leiteroperatoren. In der deutschen Literatur verwendet man gewöhnlich folgende Bezeichnungen:
    • Erzeugungsoperator a † : Wie in dem Abschnitt ,,Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände des harmonischen Oszillators“ gezeigt wird, erhöht der Erzeugungsoperator das Energieniveau um ein