Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

entsprechend aus:

    Damit ergibt sich für den Reflektionskoeffizienten:

    und für den Transmissionskoeffizienten T:

A, B und C bestimmen
    Doch wie bekommt man die Konstanten A, B und C heraus? Ganz einfach, genauso wie im Fall des unendlichen rechteckigen Potentialtopfes mithilfe der Randbedingungen (siehe den früheren Abschnitt »Gebundene Teilchen in unendlichen rechteckigen Potentialtöpfen«). An dieser Stelle kann man nicht unbedingt sagen, dass ψ(x) gegen null geht, da das Potential hier nicht unendlich ist. Statt dessen besagen die Randbedingungen, dass ψ(x) und d ψ(x)/dx über den Rand der Potentialstufe hinaus stetig sind. Mit anderen Worten:

    Sie wissen folgendes:
    Für x < 0:
    Für x > 0:
    Setzt man diese beiden Gleichungen inein, so erhält man A + B = C. Und das Einsetzen inergibt:

    Löst man nach B auf, erhält man:

    Löst man nach C auf, erhält man:

    Anschließend könnte man A mithilfe der Normalisierungsbedingung für die Wellenfunktion berechnen:

    Allerdings benötigt man A hier gar nicht, da es aus den Gleichungen für den Reflektions- und Transmissionskoeffizienten herausfällt. Da:

    folgt somit:

    Das ist ein interessantes Ergebnis; es weicht von der klassischen Physik ab, die besagt, dass es keine Reflexion von Teilchen geben sollte. Wenn k 1 ≠ k 2 ist, kommt es, wie Sie sehen, in der Tat zu einer Reflektion der Teilchen.
    Wenn k 1 sich k 2 annähert, geht R gegen 0 und T gegen 1, was zu erwarten war.
    Sie haben hier also ein Ergebnis, das von der klassischen Physik abweicht – das Teilchen kann an der Potentialstufe reflektiert werden. Hier kommt also der Wellencharakter des Teilchens wieder ins Spiel.
    Abbildung 4.5 zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(r)| 2 für eine Potentialstufe mit E > V 0 .
     
    Abbildung 4.5 : |ψ(r)| 2 für eine Potentialstufe mit E > V 0

Angenommen, das Teilchen hat nicht genug Energie
    Okay, jetzt betrachten Sie die Potentialstufe für den Fall, dass E < V 0 ist, wie in Abbildung 4.6 dargestellt. In diesem Fall hat das Teilchen entsprechend der klassischen Physik nicht genug Energie, um in den Bereich x > 0 zu gelangen. Sehen Sie sich nun an, was die Quantenphysik dazu sagt.
    Nehmen Sie nun zuerst das Gebiet x < 0 in Angriff. Hier sieht die Schödinger-Gleichung wie folgt aus:

    wobei k 1 2 = 2mE/ 2 ist.
    Sie kennen das Ergebnis aus der vorangegangenen Diskussion über Potentialstufen (siehe »Begrenztes Potential: Einen Blick auf Teilchen und Potentialstufen«):

    Okay, doch was ist mit dem Gebiet x > 0? Das ist eine andere Geschichte. Die Schrödinger-Gleichung lautet:

    wobei k 2 = 2m(E – V 0 )/ 2 ist.
     
    Abbildung 4.6 : Eine Potentialstufe mit E < V 0
    Aber aufgepasst: E – V 0 ist kleiner als 0, also wird k imaginär, was physikalisch unmöglich ist. Also tauscht man in der Schrödinger-Gleichung das Plus gegen ein Minus:

    Dabei gilt für k 2 folgendes (man beachte, dass k 2 für E < V 0 positiv ist):

    Jetzt können Sie die Differentialgleichung lösen:

    Es gibt zwei linear unabhängige Lösungen:

    Daher lautet die allgemeine Lösung fürfür x > 0 wie folgt:

    Wellenfunktionen müssen allerdings überall endlich sein, aber der zweite Term ist sicher nicht endlich, wenn x gegen unendlich geht, also muss D gleich null sein. (Man beachte, dass auch der erste Term divergiert, wenn x gegen negativ unendlich geht. Da die Potentialstufe aber durch x > 0 beschränkt ist, stellt das kein Problem dar.) Die Lösung für x > 0 lautet also:

    Somit lauten die Wellenfunktionen für die beiden Bereiche:

    Betrachtet man nun die einfallende, die reflektierte und die transmittierte Wellenfunktion ψ e (x), ψ r (x) und ψ t (x), so ergibt sich das folgende:

Reflexions- und Transmissionskoeffizienten bestimmen
    Jetzt kann man die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten R und T berechnen (wie es für den Fall E > V 0 in dem früheren Abschnitt »Angenommen, das Teilchen hat genügend Energie« durchgeführt wurde):

    In diesem Fall ist das sehr einfach. Betrachten Sie J t :

    Daist, istreel, sodass in diesem Fall Folgendes gilt:

    Und diese Gleichung ist natürlich gleich null.
    Da J t = 0 ist, ist auch T = 0. Wenn T = 0 ist, muss R = 1 sein. Das bedeutet, dass man eine totale Reflexion hat, genau wie in der klassischen Lösung.
Die Nichtnull-Lösung: Ein Teilchen im Bereich x > 0
    Obwohl totale Reflexion vorliegt, gibt es einen Unterschied zwischen der mathematisch quantenmechanischen und der klassischen Lösung: Es besteht eine winzige