Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Kapitel betrachteten Fällen wurden die Randbedingungen durch den Verlauf des Potentials gegeben.
    Die Wellenfunktion zu lösen bedeutet, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zu lösen. In diesem Kapitel zeigt sich, dass dies für einfache Systeme wie Potentialtöpfe, -stufen und -barrieren nicht sehr schwierig ist.
    Wie bereits in Kapitel 2 erläutert wurde, muss sicher gestellt werden, dass sich ein Quantenteilchen zu jeder Zeit irgendwo im Raum aufhält. Das bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten |ψ(x)| 2 dx, ein Teilchen zwischen x und dx zu finden, zu 1 summieren müssen, wenn man über den gesamten betrachteten Bereich integriert. Daher muss die Wellenfunktion des Teilchens die Normierungsbedingung erfüllen:

    In diesem Kapitel wurde bereits anhand der ersten Problemstellung, der Untersuchung eines Teilchens in einem Potentialtopf, gezeigt, wie man mithilfe der Normierungsbedingung unbekannte Konstanten bestimmen kann.
    Die Berechnung und Interpretation der erlaubten Energiezustände eines physikalischen Systems ist einer der zentralen Punkte bei der Untersuchung quantenmechanischer Probleme.
    Darüber hinaus lassen sich die wichtigsten Ergebnisse dieses Kapitels folgendermaßen zusammen fassen.
    In einem Potentialtopf sind die Energieniveaus quantisiert.
    Betrachtet man eine Potentialstufe oder eine Potentialbarriere, so muss man zwischen zwei Fällen unterscheiden:
    • Teilchenenergie oberhalb der Potentialstufe (E > V 0 )
    • Teilchenenergie unterhalb der Potentialstufe (E < V 0 )
    Man gibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen an einer Potentialstufe reflektiert oder transmittiert wird, in folgender Form an:
    • Der Reflexionskoeffizient R beschreibt das Verhältnis von reflektierter Stromdichte zu einfallender Stromdichte:
    • Der Transmissionskoeffizient T beschreibt das Verhältnis von transmittierter Stromdichte zu einfallender Stromdichte:
    Der Tunneleffekt besagt, dass ein atomares Teilchen eine endliche Potentialbarriere auch dann überwinden kann, wenn seine Energie kleiner als die Höhe der Barriere ist. Eins der wichtigsten Anwendungsbeispiele des Tunneleffekts ist der Alpha-Zerfall von Atomkernen. Er spielt aber auch im sogenannten Rastertunnelmikroskop eine große Rolle (STM = Scanning Tunneling Microscope)

5
    Hin und her mit harmonischen Oszillatoren
    In diesem Kapitel ...
    Hamilton-Operatoren und die Gesamtenergie
    Energiezustände mithilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bestimmen
    Die Matrix-Form des Operators für harmonische Oszillatoren
    Vergleich von klassischem und quantenmechanischem harmonischen Oszillator
    Harmonische Oszillatoren sind physikalische Anordnungen mit periodischen Bewegungen, wie zum Beispiel Körper, die an Federn schwingen oder sich an Pendeln hin und her bewegen. Sie sind wahrscheinlich mit Physikaufgaben zum harmonischen Oszillator im makroskopischen Bereich vertraut, doch nun geht es in die mikroskopische Welt. Es gibt zahlreiche physikalische Problemstellungen, die sich näherungsweise durch harmonische Oszillatoren beschreiben lassen, wie etwa Atome in einer Kristallstruktur.

Die Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator
    Bei der Untersuchung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators beginnt man genau wie bei der Untersuchung anderer eindimensionaler Probleme mit dem Erstellen der Schrödinger-Gleichung. In der Kurzform geschrieben lautet Sie:

    Wie Sie wissen, beschreibt der Hamilton-Operator die Gesamtenergie eines quantenmechanischen Systems. Die Aufgabe besteht also zunächst darin, den Hamilton-Operator für harmonische Oszillatoren zu bestimmen. Um diese Aufgabe zu vereinfachen folgt eine kurze Beschreibung des klassischen harmonischen Oszillators.

Der klassische harmonische Oszillator
    Klassisch betrachtet kann man die Kraft, die auf einen Körper wirkt, der eine harmonische Schwingung vollzieht, wie folgt darstellen (das ist das Hook'sche Gesetz):

    In dieser Gleichung ist k die Federkonstante, gemessen in Newton/Meter, und x die Auslenkung. Das Entscheidende ist hier, dass die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper proportional zu seiner Auslenkung ist. Mit anderen Worten, je weiter Sie eine Feder dehnen, desto kräftiger springt sie zurück.
    Da F = ma, wobei m die Masse eines Teilchens in harmonischer Bewegung und a seine momentane Beschleunigung ist, kann man F ersetzen und folgende Gleichung schreiben:

    Die Gleichung für die momentane Beschleunigung lautet wie folgt, wobei x die