Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

also, dass man E und p genau kennt. Und wenn man E und p genau kennt, dann bedeutet das eine große Unbestimmtheit von x und t; in diesem Fall sind x und t sogar absolut unbestimmt. Das stimmt nicht mit der physikalischen Wirklichkeit überein.
    Schließlich ist die Wellenfunktion ψ(x), wie sie oben angegeben ist, nicht normalisierbar. Versucht man zum Beispiel, den ersten Term zu normalisieren, so erhält man folgendes Integral:

    Für den ersten Term von x(ψ, t) ergibt das:

    Und dasselbe gilt für den zweiten Term von ψ(x, t).
    Was ist also hier zu tun, um ein physikalisches Teilchen zu erhalten? Der nächste Abschnitt erklärt es.

Ein physikalisches Teilchen mit einem Wellenpaket beschreiben
    Wenn man einige Lösungen der Schrödinger-Gleichung hat, so ist jede Linearkombination aus diesen Lösungen wieder eine Lösung. Das ist der Schlüssel, um ein echtes physikalisches Teilchen zu erhalten: Man addiert verschiedene Wellenfunktionen, sodass man ein Wellenpaket erhält; also eine Überlagerung verschiedener Wellenfunktionen der Form, bei der die Wellenfunktionen an einem Ort konstruktiv und an allen anderen Orten destruktiv interferieren (gegen null gehen):

    Dies wird gewöhnlich als Integral geschrieben:

    Was ist? Das ist die Amplitude einer jeden beteiligten Wellenfunktion; man kanndurch die Fourier-Transformation der Gleichung bestimmen:

    Dakann man die Gleichungen des Wellenpakets auch in Abhängigkeit von p darstellen:

    Gut, Sie fragen sich sicher, was hier vor sich geht? ψ(x,t) wird durch φ(p, t) bestimmt und φ(p,t) ist durch ψ(x,t) definiert. Das sieht nach einem Zirkelschluss aus.
    Die Antwort ist, dass die beiden obigen Gleichungen keine Definitionen von ψ(x, t) und φ(p, t) sind, sondern lediglich Gleichungen, die die beiden zueinander in Beziehung setzen. Sie haben also die Freiheit, Ihre eigene Form des Wellenpaketes zu wählen – entscheiden Sie sich zum Beispiel für die Form von φ(p, t), dann können Sie ψ(x, t) an Hand vonbestimmen.

Ein Gauss'sches Beispiel
    Hier folgt ein Beispiel für die Form eines Wellenpakets. Abbildung 4.12 zeigt ein sogenanntes Gauss'sches Wellenpaket, das an einem Ort lokalisiert und an den anderen null ist.
     
    Abbildung 4.12 : Ein Gauss'sches Wellenpaket
    Man kann folgende Amplitude φ(k) für das Wellenpaket wählen:

    Um A zu bestimmen, normalisiert man zunächst φ(k). Das geht wie folgt:

    Einsetzen von φ(k) ergibt:

    Lösen des Integrals (das meint, in einer mathematischen Formelsammlung nachschlagen) ergibt:

    Deshalb ist.
    Die Wellenfunktion lautet somit:

    Dieses kleine Prachtstück von Integral kann entwickelt werden; man erhält dann:

    Das ist also die Wellenfunktion für das Gauss'sche Wellenpaket – und sie ist bereits normalisiert! ( Man beachte: Der Teil exp[–x 2 /a 2 ] ist der Gauss'sche Anteil, der dem Wellenpaket die charakteristische Form gibt, wie sie in Abbildung 4.12 zu erkennen ist.)
    Nun kann man dieses Wellenpaket benutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass das Teilchen sich beispielsweise im Bereich 0 ≤ x ≤ a/2 befindet. Die Wahrscheinlichkeit ist:

    In diesem Fall lautet das Integral:

    Und das ergibt:

    Somit ist die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass das Teilchen sich in dem Bereich 0 ≤ x ∞ a/2 befindet. Klasse!

Das Wichtigste von Kapitel 4 noch einmal in Kürze
    Die erste und wichtigste Aufgabe dieses Kapitels bestand darin, Sie mit der Schrödinger-Gleichung vertraut zu machen und Ihnen die Möglichkeit zu geben, sich im Umgang mit dieser grundlegenden Gleichung der Quantenmechanik zu üben. Aus diesem Grund wurden zunächst einfache physikalische Systeme untersucht, wie sie Potentialtöpfe, -stufen und -barrieren darstellen. Der Lösungsweg, den Sie dabei gegangen sind, wiederholt sich im Prinzip bei allen quantenmechanischen Problemstellungen.
    An erster Stelle steht immer das Aufstellen der Schrödinger-Gleichung:

    In diesem Kapitel bestand Ihre Aufgabe vor allem darin, diese Differentialgleichung für verschiedene Potentiale V(r) zu lösen. Wenn man die Wellenfunktion ψ(r) bestimmt hat, die die Schrödinger-Gleichung für das jeweilige Potential erfüllt, kann man sowohl die erlaubten Energiezustände eines physikalischen Systems angeben als auch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es sich in einem bestimmten Zustand befindet.
    Bei der Lösung der Gleichung müssen unbedingt die Randbedingungen beachtet werden; sie haben fast ausnahmlos einen großen Einfluss auf die Lösung. In den in diesem