Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Chance, in dem Gebiet x > 0 ein Teilchen zu finden. Um das zu verstehen, muss man die Wahrscheinlichkeitsdichte für x > 0 betrachten, die wie folgt lautet:

    Setzt man die Wellenfunktion ψ t (x) ein, so erhält man:

    Man kann mithilfe der Stetigkeitsbedingungen C durch A ausdrücken:

    Benutzt man diese Bedingungen, so erhält man:

    Dieser Ausdruck geht sehr schnell gegen null, wenn x groß wird, doch in der Nähe von x = 0 hat er einen Wert, der von null verschieden ist.
    Abbildung 4.7 zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte bei einer Potentialstufe für den Fall E < V 0 :
     
    Abbildung 4.7 : |ψ(r)| 2 für eine Potentialstufe mit E < V 0
    Okay, Sie kennen sich nun mit unendlichen rechteckigen Potentialtöpfen und Potentialstufen aus. Was ist aber nun, wenn die Potentialstufe, z. B. in x-Richtung nicht bis ins Unend-liche reicht, sondern selber beschränkt ist? Das führt zu den Potentialbarrieren auch Potentialschwellen genannt, die im folgenden Abschnitt diskutiert werden.

Gegen die Wand stoßen: Teilchen und Potentialbarrieren
    Was wäre, wenn ein Teilchen seinen Weg durch eine Potentialstufe hindurch fortsetzen könnte – wenn die Stufe also von begrenzter Weite wäre? Dann haben Sie es mit einer Potentialbarriere zu tun, wie sie durch folgende Gleichungen beschrieben wird:
    V(x) = 0, für x < 0
    V(x) = V 0 , für 0 ≤ x ≤ a
    V(x) = 0, für x > a
    Abbildung 4.8 zeigt, wie dieses Potential aussieht.
     
    Abbildung 4.8 : Eine Potentialbarriere mit E > V 0
    Bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für eine Potentialbarriere muss man zwei Fälle unterscheiden, entsprechend der Frage, ob das Teilchen eine größere oder eine geringere Energie als die Potentialbarriere aufweist. Mit anderen Worten, wenn E die Energie des einfallenden Teilchens ist, muss man die beiden Fälle E > V 0 und E < V 0 betrachten. Dieser Abschnitt beginnt mit E > V 0 .

Überwinden der Potentialbarriere mit E > V 0
    In dem Fall E > V 0 hat das Teilchen genug Energie, um die Potentialschwelle zu durchdringen und in den Bereich x > a zu gelangen. Die Schrödinger-Gleichung sieht dabei folgendermaßen aus:
    In dem Bereich x < 0:
wobei k 1 2 = 2mE/ 2 ist.
    In dem Bereich 0 ≤ x ≤ a:
wobei k 2 2 = 2m(E – V 0 )/ 2 ist.
    In dem Bereich x > a:
wobei k 1 2 = 2mE/ 2 ist.
    Die Lösungen für ψ 1 (x), ψ 2 (x) und ψ 3 (x) sind die folgenden:
    Für x < 0:
    Für 0 ≤ x ≤ a:
    Für x > a:
Da sich in dem Bereich x > a keine nach links laufende Welle befinden kann, ist F = 0 und somit.
    Aber wie bestimmt man A, B, C, D und E? Man benutzt die Stetigkeitsbedingungen, die in diesem Fall wie folgt aussehen:

    Okay, mithilfe dieser Gleichungen erhält man die folgenden Beziehungen:
    A + B = C + D

    Verknüpft man all diese Gleichungen miteinander, so kann man den Koeffizienten E mithilfe von A wie folgt ausdrücken:

    Toll! Aber wie lautet der Transmissionskoeffizient T? T ist:

    Und daraus ergibt sich:

    Puh! Man beachte, dass T gegen 1 geht, wenn k 1 gegen k 2 geht, wie man erwarten würde.
    Und was ist mit dem Reflexionskoeffizienten R? An dieser Stelle soll Ihnen die Rechnerei erspart bleiben und nur das Ergebnis vorgeführt werden:

    Abbildung 4.9 zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(r)| 2 für eine Potentialbarriere mit E > V 0 .
     
    Abbildung 4.9 : |ψ(r)| 2 für eine Potentialbarriere mit E > V 0
    Das war die Potentialbarriere für den Fall E > V 0 .

Überwinden der Potentialbarriere – auch mit E < V 0
    Was passiert, wenn die Energie des Teilchens kleiner ist als das Potential der Barriere? Die Situation ist in Abbildung 4.10 dargestellt.
     
    Abbildung 4.10 : Eine Potentialbarriere mit E < V 0
    Jetzt sieht die Schrödinger-Gleichung wie folgt aus:
    In dem Bereich x < 0:
wobei k 1 2 = 2mE/ 2 ist. In dem Bereich 0 ≤ x ≤ a:

wobei k 2 2 = 2m(E-V 0 )/ 2 ist.
E – V 0 ist hier aber kleiner als 0, das würde k imaginär machen. Da das physikalisch unmöglich ist, tauscht man das Vorzeichen in der Schrödinger-Gleichung von plus zu minus:

und setzt für k 2 2 : k 2 2 = 2m(V 0 – E)/ 2 .
    In dem Bereich x > a:
wobei k 1 2 = 2mE/ 2 ist.
Das bedeutet, dass die Lösungen für ψ 1 (x), ψ 2 (x) und ψ 3 (x) wie folgt lauten:
    Für x < 0:
    Für 0 ≤ x ≤ a:
    Für x > a:
    Da sich in dem Bereich x > a keine nach links laufende Welle befindet, ist F = 0 und somit
    Außerhalb des Bereichs 0 ≤ x ≤ a ist das Ergebnis ähnlich wie für E > V 0 . Die Wellenfunktion oszilliert in den Bereichen, wo die Energie positiv ist, also bei x <