Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Darstellungsweise ändern und in den Ortsraum zurückkehren. Dazu müssen Sie zunächst die Darstellung der Leiteroperatoren a und a † im Ortsraum bestimmen.
Arbeiten im Ortsraum
    Der Operator p ist folgendermaßen definiert:

    Da, kann man auch Folgendes schreiben:

    Wenn man jetzteinsetzt, erhält man:

    Was ist aber nun mit dem Operator a? Sie wissen, dass

    und

    Darum gilt:

    Diese Gleichung kann man auch in der folgenden Form schreiben:

    So sieht also a in der Ortsdarstellung aus. Und was ist mit a † ? Dieser Operator lautet jetzt:

    Jetzt ist es mal wieder an der Zeit, clever zu sein. Sie möchten das Problem für |0> im Ortsraum lösen, also . Nun folgt der Trick: Wenn Sie den Vernichtungsoperator a auf |0> anwenden, dann erhalten Sie 0, da es keinen niedrigeren Zustand als den Grundzustand gibt, also ist a|0> = 0. Wendet man den Bra-Vektor = 0.
    Das ist so richtig clever, weil Sie nun eine homogene Differentialgleichung haben (das ist eine, die gleich 0 ist). Zuerst ersetzen Sie a:

    Dann benutzen Sie = ψ 0 (x):

    Multipliziert man beide Seiten mitso erhält man:

    Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:

    Das ist eine Gauss-Funktion; der Grundzustand eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators entspricht also einer Gauss-Kurve, wie sie in Abbildung 5.1 dargestellt ist.
     
    Abbildung 5.1 : Der Grundzustand eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators
Die Wellenfunktion des Grundzustands bestimmen
    Der Grundzustand des quantenmechanischen Oszillators ist ψ 0 (x)=A exp(–x 2 /2x 0 2 ) und beschreibt eine Gauss-Kurve. Aber wie kann man A bestimmen? Wellenfunktionen müssen normalisiert sein, daher muss die folgende Gleichung gelten:

    Man setzt ψ 0 (x) ein und erhält folgende Gleichung:

    Berechnung oder Nachschlagen des Integrals ergibt:

    Somit ergibt sich folgendes:

    Also lautet die Wellenfunktion für den Grundzustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillators:

    Puuh, jetzt haben Sie also eine exakte Wellenfunktion.
Eine kleine Aufregung: Den ersten angeregten Zustand bestimmen
    Okay, der vorangegangene Abschnitt hat Ihnen gezeigt, wie ψ 0 (x) aussieht, aber was ist mit dem ersten angeregten Zustand ψ 1 (x)? Wie Sie wissen, ist ψ 1 (x) = und |1> = a † |0>, also gilt:

    Und Sie wissen, dass für a † folgendes gilt:

    Daher folgt für ψ 1 (x) = :

    Da ψ 0 (x) = , erhält man folgende Gleichungen:

    Man weiß außerdem Folgendes:

    Somit folgt für die Gleichung:

    Wie sieht ψ 1 (x) nun aus? Abbildung 5.2 zeigt eine Darstellung der Funktion. Man beachte, dass sie einen Knoten hat (Durchgang durch die x-Achse).
     
    Abbildung 5.2 : Der erste angeregte Zustand eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators
Den zweiten angeregten Zustand bestimmen
    So weit, so gut. Aber wie findet man die anderen angeregten Zustände, wie ψ 2 (x)? Man kann ψ 2 (x) anhand folgender Gleichung bestimmen:

    Setzt man a † ein, so erhält man:

    Demzufolge lässt sich die Wellenfunktion ψ n (x), die den n-ten angeregten Zustand beschreibt, ganz allgemein durch folgende Gleichung berechnen:

    Diesem Ergebnis entspricht die Darstellung im Rahmen der Wellenmechanik:

Darstellung der Wellenfunktion anhand der Hermite'schen Polynome
    Man kann aber auch die Differentialgleichung für ψ n (x) in der folgenden allgemeingültigen Form schreiben:

    Keine Bange, Sie müssen diese Differentialgleichung jetzt nicht selber lösen! Das haben schon einige Leute vor Ihnen erledigt, die sich mit der Theorie der Differentialgleichungen so richtig gut auskennen. Sie müssen an dieser Stelle nur wissen, dass folgende Gleichung gültig ist:

    Die in dieser Gleichung auftretenden Polynome H n werden Hermite'sche Polynome genannt. Sie sind aus der Mathematik als Lösung linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung bekannt und werden im folgenden definiert. Sie spielen bei der Beschreibung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators eine wichtige Rolle, da sie eine deutlich einfachere und übersichtliche Darstellung der Wellenfunktion erlauben.
    Die Definition der Hermite'schen Polynome lautet wie folgt:

    Die Definition sieht zwar etwas unübersichtlich aus, doch wenn Sie Zahlen für n einsetzen, werden Sie sehr schnell bemerken, dass die Polynome eigentlich »harmlos« sind. Die ersten sechs Hermite'schen Polynome lauten folgendermaßen:
    H 0 (x) = 1
    H 1 (x) = 2x
    H 2 (x) = 4x 2 – 2
    H 3 (x) = 8x 3 – 12x
    H 4 (x) = 16x 4