Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Niveau. Wenn der harmonische Oszillator also im vierten Energieniveau ist, so hebt ihn der Erzeugungsoperator auf das fünfte Niveau an.
    • Vernichtungsoperator a : Im selben Abschnitt wird auch gezeigt, dass der Vernichtungsoperator das Gegenteil bewirkt, er erniedrigt den Eigenzustand um ein Niveau.
    In diesem Buch werden die Begriffe Leiteroperatoren und Erzeugungs-/Vernichtungs-operator gleichberechtigt nebeneinander verwendet.
    Besetzungszahloperator N: Der Besetzungszahloperator N ist ein hermitescher Operator und hat daher reelle Eigenwerte, die Besetzungszahlen n. Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt wurde, lässt sich das Eigenwertproblemauf die Eigenwertgleichung des Besetzungszahloperators zurückführen:
    Kommutator der Operatoren a und a † :
    Hamilton-Operator für den harmonischen Oszillator:
    Aus den beiden vorangegangenen Gleichungen ergeben sich zwei weitere wichtige Vertauschungsrelationen:

Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände des harmonischen Oszillators
    Nachdem Sie die Energieeigenwerte des quantenmechanischen Oszillators auf sehr elegante Art und Weise bestimmt haben, besteht das Ziel jetzt darin, die Eigenzustände zu berechnen. Bei der Verwendung der algebraischen Methode wird im nächsten Schritt der Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände des harmonischen Oszillators untersucht.
Die Energie von a | n > berechnen
    Zuerst stellt sich die Frage, wie die Energie des Zustands a|n> lautet, wenn die Energie des Zustands |n> gleich E n ist? Man kann die Energie von a|n> folgendermaßen schreiben:

    Somit ist a|n> also ein Eigenzustand des harmonischen Oszillators mit der Energie E n – ω und nicht mit E n . Deshalb wird der Operator a Vernichtungs- oder Erniedrigungsoperator genannt: er erniedrigt das Energieniveau eines Eigenzustands eines harmonischen Oszillators um ein Niveau.
Die Energie von a † | n > berechnen
    Wie lautet dann das Energieniveau von a † | n ? Man kann das folgendermaßen schreiben:

    Das bedeutet, dass a † | n > ein Eigenzustand des harmonischen Oszillators mit der Energie E n + ω und nicht mit E n ist. Das heißt, der Operator a † erhöht das Energieniveau eines Eigenzustands eines harmonischen Oszillators um ein Niveau. Er wird auch Erhöhungsoperator genannt.

Direkte Verwendung von a und a †
    Wenn Sie die letzten Abschnitte vollständig gelesen haben, wissen Sie, dass Folgendes gilt:und. Aus diesen beiden Gleichungen kann man Folgendes herleiten:

    C und D sind positive Konstanten, aber wie lauten sie? Die Zustände |n – 1> und |n + 1> müssen normalisiert sein, was bedeutet, dass =  = 1. Verwendet man den Operator C, so folgt:

    Da |n – 1> normalisiert ist, ist  = 1:

    Aber Sie wissen auch, dass a † a = N ist, deshalb erhalten Sie die folgende Gleichung:

    , wobei n das Energieniveau ist; damit folgt:

    Da, folgt:

    Mitfolgt daraus:

    Das ist super – nun wissen Sie, wie der Vernichtungsoperator a auf die Eigenzustände des harmonischen Oszillators angewendet wird.
    Was ist nun mit dem Erzeugungsoperator a † ? Wenn man die selbe Argumentation benutzt wie bei dem Operator a erhält man das folgende Ergebnis:

    Jetzt kennen Sie also die Energieeigenwerte und wissen, wie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beeinflussen. Sie haben große Fortschritte gemacht, indem Sie die Operatoren a und a † anwenden, statt zu versuchen, die Schrödinger-Gleichung direkt zu lösen.

Die Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators bestimmen
    Bei der Verwendung der Operatoren a und a † liegt der besondere Reiz darin, dass man bei gegebenem Grundzustand |0> die anderen Energiezustände sukzessiv bestimmen kann. Wenn man die angeregten Zustände eines harmonischen Oszillators berechnen will, kann man vom Grundzustand |0> ausgehen und den Erzeugungsoperator a † anlegen. Man kann zum Beispiel Folgendes machen:

    Und so weiter. Im Allgemeinen haben Sie folgende Beziehung:

Berechnung der Eigenfunktionen
    Okay,ist soweit schon ganz gut – aber was ist |0>? Können Sie einen
    räumlichen Eigenzustand zu diesem Eigenvektor angeben? So etwas wie ψ 0 (x) und nicht nur |0>? Ja, Sie können. Mit anderen Worten, Sie wollen = ψ 0 (x) bestimmen. oder ganz allgemein ausgedrückt, Sie wollen die zu den Eigenzuständen |n> gehörigen Eigenfunktionen ψ n (x) bestimmen. In diesem Fall müssen Sie die