Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

können, warum man welches Problem auf eine bestimmte Art und Weise löst und dann mit dem Lösungsweg sicher umgehen können. Darüber hinaus sollen Sie verstehen, was das Ergebnis physikalisch bedeutet – Sie betreiben Quantenphysik, nicht Quantenmathematik, auch wenn erstere sehr von der Mathematik geprägt ist.
    Im Fall des harmonischen Oszillators liefert eine algebraische Methode einen sehr eleganten Lösungsweg: Nach Umformung des Hamilton-Operators anhand von Leiteroperatoren können Sie die Energieeigenwerte sofort bestimmen.
    Das nächste Ziel ist die Bestimmung der Eigenzustände. Diese bestimmt man jedoch nicht direkt, sondern man untersucht zunächst den Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände. Dabei erkennen Sie, dass die Operatoren a bzw. a † den Energieeigenwert um ω erhöhen bzw. erniedrigen und daher Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperator oder auch Leiteroperatoren genannt werden.
    Um die Wellenfunktion der verschiedenen Zustände zu bestimmen, betrachtet man anschließend wieder den Ortsraum. Mithilfe der Darstellung der Leiteroperatoren im Ortsraum erhält man jetzt eine Differentialgleichung, die sich einfach lösen lässt. Die Normierung dieser Funktion führt zur exakten Wellenfunktion für den Grundzustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillators.
    Die Bestimmung der Wellenfunktionen der ersten angeregten Zustände führt auf die Hermite-Polynome und so auf die allgemeine Lösung der Wellenfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators.

Teil III
    Alles dreht sich um Drehimpulse und Spin
    In diesem Teil ...
    Thema dieses Teils ist alles, was sich dreht und rotiert. Die Quantenphysik hat dazu eine ganze Menge zu sagen, unter anderem, wie Drehimpuls und Spin quantisiert sind. Alles Wichtige dazu finden Sie in diesem Teil.

6
    Arbeiten mit dem Drehimpuls auf Quantenniveau
    In diesem Kapitel ...
    Drehimpuls
    Drehimpuls und Hamilton-Operator
    Matrix-Darstellung des Drehimpulses
    Eigenfunktionen des Drehimpulses
    Sie kennen den Drehimpuls aus der klassischen Physik, wo er eine ähnlich wichtige Rolle wie die Energie oder der Impuls spielt. Darüber hinaus ist er wie diese eine Erhaltungsgröße.
    Natürlich haben Sie Recht, wenn Sie jetzt vermuten, dass der Drehimpuls auch in der Quantenphysik eine zentrale Stellung einnimmt. Der Drehimpulsoperator ist sowohl in der Atom- und Molekülphysik als auch bei der Behandlung anderer quantenmechanischer Probleme mit Rotationssymmetrie eine grundlegende Größe. Wie sich in diesem Kapitel zeigen wird, ist der Drehimpuls eine quantisierte Größe, die nur ganz- oder halbzahlige Vielfache des Planckschen Wirkungsquantums annehmen kann. Neben dem Bahndrehimpulsoperator L, der das quantenmechanische Analogon zum klassischen Drehimpuls ist, gibt es noch den Spinoperator S, der ebenfalls ein Drehimpulsoperator ist, aber kein klassisches Gegenstück besitzt. Der Spinoperator wird in Kapitel 7 behandelt.
    Dieses Kapitel besteht aus zwei Teilen. Die Ergebnisse, die im ersten Teil hergeleitet werden, beruhen nur auf den algebraischen Eigenschaften des Drehimpulses (wie den Vertauschungsrelationen, die in den folgenden Abschnitten hergeleitet werden). Das hat den großen Vorteil, dass sie somit nicht nur für den Bahndrehimpuls, sondern für jeden Drehimpuls (wie den Spin oder den Gesamtdrehimpuls) gelten. Nachdem Sie im vorangegangenen Kapitel die Erfahrung gemacht haben, dass sich das Energiespektrum des harmonischen Oszillators einfach und elegant mithilfe von Leiteroperatoren herleiten lässt, wird dieser Ansatz in diesem Kapitel weiter verfolgt. Das bedeutet, dass man in diesem Fall den Erzeugungs-operator L + und den Vernichtungsoperator L - definiert und mit ihrer Hilfe die Eigenzustände des Drehimpulses berechnet.
    Der zweite Teil dieses Kapitels geht dann über die allgemeinen Überlegungen hinaus; dort werden die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses direkt berechnet. Da der Drehimpuls eng mit Rotationen verknüpft ist, ist es an dieser Stelle von großem Vorteil, zu Kugelkoordinaten überzugehen. Im Anschluss daran zeigt sich, dass die weitere Behandlung erneut große Ähnlichkeit mit der des harmonischen Oszillators aufweist. Sie erhalten eine Differentialgleichung, deren Lösungen dementsprechend ebenfalls bekannte Funktionen der mathematischen Physik sind.

Mit dem Drehimpuls im Kreis herum
    Werfen Sie einen Blick auf Abbildung 6.1 , die eine sich im dreidimensionalen Raum drehende Scheibe zeigt. Da Sie