Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

im 3D-Raum rechnen, müssen Sie mit Vektoren arbeiten, die sowohl Betrag als auch Richtung angeben.
     
    Abbildung 6.1 : Eine sich drehende Scheibe mit dem Drehimpulsvektor L
    Wie man erkennt, steht der Drehimpulsvektor L der Scheibe senkrecht zur Ebene der Drehung. Man kann hier die Rechte-Hand-Regel anwenden: Wenn Sie mit den Fingern Ihrer rechten Hand die Drehung nachahmen, dann zeigt der Daumen Ihrer rechten Hand in die Richtung des Drehimpulsvektors L .
    Wenn der Vektor L aus der Ebene der Drehung herauszeigt, so hat das einige Vorteile. Wenn beispielsweise etwas mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert, so bleibt der Drehimpulsvektor L in Betrag und Richtung konstant. Das ist sinnvoller, als wenn der Vektor in der Ebene der Drehbewegung der Scheibe rotiert und dabei ständig seine Richtung ändert.
    Da L ein dreidimensionaler Vektor ist, kann er in jede Richtung zeigen, was bedeutet, dass er x-, y- und z-Komponenten hat: L x , L y und L z (die keine Vektoren, sondern nur Beträge sind). Abbildung 6.1 zeigt L z .
    L ist das Vektorprodukt aus R (Ort) und P ( Impuls) : ( L = R × P ). Man kann zu jedem gegebenen Zeitpunkt L x , L y und L z mithilfe von Operatoren auch wie folgt angeben:
    L x = YP z – ZP y
    L y = ZP x – XP z
    L z = XP y – YP x
    Dabei sind P x , P y und P z die Impulsoperatoren (die den Impuls in x-, y- und z-Richtung angeben) und X, Y und Z die Ortsoperatoren (die den Ort in x-, y- und z-Richtung angeben).
    Man kann die Impulsoperatoren P x , P y und P z auch wie folgt ausdrücken:

    Setzt man diese Operatoren in die Gleichungen für L x , L y und L z ein, so kann man sie wie folgt schreiben:

Die Kommutatoren von L x , L y und L z bestimmen
    Als Erstes soll überprüft werden, ob diese Operatoren kommutieren. Wenn sie kommutieren (beispielsweise wenn [L x , L y ] = 0), dann kann man zwei beliebige von ihnen (zum Beispiel L x und L y ) genau messen. Wenn nicht, dann unterliegen sie der Unschärferelation , und man kann sie nicht gleichzeitig genau messen.
    Okay, wie lautet also der Kommutator von L x und L y ? Verwendet man L x  = YP z  – ZP y und L y = ZP x – XP z , so kann man Folgendes schreiben:
    [L x , L y ] = [YP z – ZP y , ZP x – XP z ]
    Diese Gleichung kann man folgendermaßen umformen:
    [L x , L y ] = [YP z , ZP x ] – [YP z , XP z ] – [ZP y , ZP x ] + [ZP y , XP z ]
    [L x , L y ] = Y[P z , ZP x ]P x + X[ZP y ,P z ]P y
    [L x , L y ] = i (XP y – YP x )
    Aber XP y – YP x = L z , somit folgt [L x , L y ] = i L z . L x und L y kommutieren also nicht, was bedeutet, dass man sie nicht gleichzeitig präzise messen kann. Man kann auf die gleiche Weise zeigen, dass [L y , L z ] = i L x und [L z , L x ] = i L y .
    Da die Komponenten des Drehimpulses nicht miteinander kommutieren, kann man niemals auch nur zwei von ihnen mit absoluter Genauigkeit gleichzeitig messen. Mist!
    Das bedeutet also, dass die Operatoren L x , L y und L z keine gemeinsamen Eigenzustände haben. Was kann man also machen? Wie kann man einen Operator finden, der die gleichen Eigenzustände wie die verschiedenen Komponenten des Drehimpulsoperators hat, sodass man die Eigenzustände als |l, m> schreiben kann?
    Hier benutzt man gewöhnlich den Trick, dass das Quadrat des Drehimpulses L 2 ein Skalar und kein Vektor ist, sodass er mit den Operatoren L x , L y und L z kommutiert:
    [L 2 , L x ] = 0
    [L 2 , L y ] = 0
    [L 2 , L z ] = 0
    Okay, Sie machen also Fortschritte. Weil L x , L y und L z nicht miteinander kommutieren, können sie auch keine gemeinsamen Eigenzustände haben. Weil aber L 2 mit ihnen kommutiert, können L 2 und jeweils eine der drei Komponenten gemeinsame Eigenwerte besitzen. Gewöhnlich wählt man L z , um die Eigenwerte der gemeinsamen Eigenfunktionen mit L 2 zu bestimmen.

Die Eigenzustände des Drehimpulses bestimmen
    Jetzt ist es an der Zeit, die Eigenzustände |l, m> des Drehimpulses zu bestimmen. Wenn Sie die Eigenzustände haben, kennen Sie auch die Eigenwerte, und wenn Sie die Eigenwerte kennen, können Sie die Hamilton-Funktion lösen und erhalten die erlaubten Energieniveaus eines Körpers mit Drehimpuls.
    Machen Sie nicht die Annahme, dass |l, m> die Eigenzustande sind, nehmen Sie stattdessen |α, β>, wobei der Eigenwert von L 2 dann L 2 |α ,β > = 2 α |α ,β > lautet. Der Eigenwert von L 2 ist somit 2 α, was Sie nun für α lösen müssen. Analog ergibt sich der Eigenwert von L z : L z | α, β > =β|α,β >.
    Um weiter voranzukommen, müssen Sie nun Erzeugungs- und