Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

– 48x 2 + 12
    H 5 (x) = 32x 5 – 160x 3 + 120x
    Die hier eingeführten Hermite'schen Polynome ermöglichen jetzt folgende übersichtliche Darstellung der Wellenfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators:

    wobeigilt.
    So sehen also die Wellenfunktionen für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator aus.
    Abbildung 5.3 zeigt den Verlauf von ψ 2 (x); man beachte, dass hier zwei Knoten auftreten. Ganz allgemein hat die Wellenfunktion ψ n (x) für den harmonischen Oszillator n Knoten.
     
    Abbildung 5.3 : Der zweite angeregte Zustand eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators

Ein paar Zahlen einsetzen
    Im vorangegangenen Abschnitt wurde ψ n (x) hergeleitet, und Sie haben bereits E n berechnet – Sie sind also bestens mit dem harmonischen Oszillator vertraut. Dann betrachten Sie einmal das folgende Beispiel.
    Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Proton, das mit ω = 4,58 × 10 21  s –1 eine harmonische Schwingung ausführt, wie in Abbildung 5.4 dargestellt.
     
    Abbildung 5.4 : Ein Proton in harmonischer Oszillation
    Wie groß sind die Energien der Energieniveaus des Protons? Sie kennen die allgemeine Lösung:

    Das Proton hat folgende Energien, angegeben in Megaelektronenvolt (MeV):

    Und so weiter.
    Aber was ist mit den Wellenfunktionen?. Die allgemeine Form von ψ n (x) ist:

    wobei. Also ist x 0 = 3,71 × 10 -15 m.
    Wenn man alle Längenangaben in Femtometer umrechnet (1 fm = 1 × 10 –15  m), erhält man x 0 = 3,71 fm. Wenn x in Femtometern angegeben wird, so erhält man für die Wellenfunktion ψ 0 (x):

    Die nächsten beiden Wellenfunktionen lauten:

Die Operatoren des harmonischen Oszillators als Matrizen
    Da die Energiezustände des harmonischen Oszillators regelmäßige Abstände aufweisen, wird in diesem Fall auch gelegentlich die Matrix-Darstellung verwendet, die alles manchmal einfacher macht. Der Eigenvektor des Grundzustands kann dann zum Beispiel das folgende Aussehen haben (man beachte, dass es sich um einen unendlichen Vektor handelt):

    Und der erste angeregte Zustand mag wie folgt aussehen:

    Und so weiter. Der Besetzungszahloperator, der die Energieniveaus liefert, würde dann wie folgt aussehen:

    Somit liefert N|2>:

    Das ist gleich:

    Mit anderen Worten: N|2> = 2|2>.
    Was ist mit dem (Vernichtungs-)Operator a? Dieser hat folgende Gestalt:

    Wie lautet a|1> in dieser Darstellung? Allgemein gilt a|n> = n 1/2  |n – 1>, also sollte a|1> gleich |0> sein. Also überprüfen Sie es:

    Die Ausführung der Matrizenmultiplikation ergibt:

    Mit anderen Worten: a|1> = |0>, genau wie erwartet.
    Und was ist mit dem (Erzeugungs-)Operator a † ? Im Allgemeinen wirkt er folgendermaßen: a † |n> = (n+1) 1 / 2  |n +1>. In der Matrix-Darstellung hat a † das folgende Aussehen:

    Man erwartet zum Beispiel, dassergibt. Ist das so?

    Die Durchführung der Multiplikation ergibt:

    Folglich ist,, genau wie erwartet.
    Und was ist mit dem Hamilton-Operator H|n> = E n |n>, der die Energie eines Eigenzustands liefert? In der Matrix-Darstellung hat er die folgende Form:

    Wenn Sie also die Matrix-Darstellung bevorzugen, so haben Sie hier gesehen, auf welche Weise sie beim harmonischen Oszillator angewendet wird.

Das Wichtigste von Kapitel 5 noch einmal in Kürze
    Der quantenmechanische harmonische Oszillator stellt für die gesamte Quantenphysik ein außerordentlich wichtiges Modellsystem dar. Wie Sie in diesem Kapitel gesehen haben, lässt er sich ohne Näherungen und numerische Methoden mit einer rein algebraischen Methode vollständig lösen. Demzufolge ermöglicht er die Beschreibung einer Vielzahl physikalischer Systeme und Sachverhalte und ist für viele Teilgebiete der modernen Physik als Modell unverzichtbar.
    Wie bei jedem anderen quantenmechanischen Problem muss man auch beim harmonischen Oszillator zunächst die Schrödinger-Gleichung aufstellen und dann zu lösen versuchen. Bevor man allerdings anfängt zu rechnen, sollte man sich – und das gilt natürlich für alle anderen Aufgaben auch – das Problem und seine Besonderheiten bewusst machen. Beim quantenmechanischen harmonischen Oszillator besteht folgendes Problem: das Potential ist parabolisch. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung allein mithilfe der Funktionentheorie könnte daher kompliziert werden. In solchen Fällen ist es sinnvoll nach anderen Lösungswegen zu suchen.
    An dieser Stelle eine kleine Erinnerung: Sie sollen die Quantenmechanik nicht neu erfinden, sondern Sie sollen nachvollziehen