Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

für kleine und große r getrennt; erst im Anschluss daran verbindet man beide Lösungen. Dies führt auf folgende, recht komplizierte Differentialgleichung:

    Sie lässt sich mit einer aus der Mathematik bekannten Methode lösen, dem Potenzreihenansatz. Dabei ist zu beachten, dass die Reihe nach dem N-ten Glied abbrechen muss. Dabei ist N die radiale Quantenzahl; die Hauptquantenzahl n ergibt sich folgendermaßen aus N:.
    Im Anschluss daran kann man die Energieeigenwerte E n betrachten. Es gilt:

    Das bedeutet, die Energieeigenwerte hängen nur von der Kombination n = N + l + 1 ab. Zu einem festen vorgegebenen n können somit die Drehimpulsquantenzahlen l = 0, 1, 2, 1 / 4 , n – 1 gehören. Berücksichtigt man darüber hinaus, dass zu jedem lverschiedene Werte von m gehören, ergibt sich folgende Gleichung:

    Demzufolge ist der Energieeigenwert E n n 2 -fach entartet.
    Man kann die radiale Schrödinger-Gleichung aber auch in Verbindung mit einer in der Mathematik eingehend untersuchten Differentialgleichung darstellen und sich die Kenntnis ihrer Lösungen zunutze machen. In dieser Darstellung lautet die Wellenfunktion ψ nlm (r, θ, φ) für das Wasserstoffatom folgendermaßen:

    Dabei gilt:
    sind die zugeordneten Laguerre-Polynome.
    sind die Kugelflächenfunktionen.
    ist der Bohrsche Radius.
    Jede Lösung ψ nlm (r, θ, φ) der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom wird durch die drei Quantenzahlen n, l und m gekennzeichnet. Sie werden auch räumliche Quantenzahlen genannt, im Unterschied zur Spinquantenzahl.
    Dabei gilt:
    Die Hauptquantenzahl n beschreibt die Schale, zu der der Zustand des Elektrons gehört. Die Schalen werden auch der Reihe nach als K-, L-, M-... Schalen bezeichnet.
    Die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl l charakterisiert die Form des Orbitals in einem Atom. Man verwendet zur Beschreibung von l oftmals bestimmte, historisch festgelegte Buchstaben: s für l = 0, p für l = 1, d für l = 2 usw.
    Die magnetische Quantenzahl m beschreibt die Komponente des Elektronen-Bahndrehimpulses in z -Richtung.

Teil V
    Gruppendynamik mit vielen Teilchen
    In diesem Teil ...
    In diesem Teil lernen Sie, mit vielen Teilchen gleichzeitig zu arbeiten. Dabei können die Teilchen nicht nur mit einem äußeren Potential, sondern auch untereinander wechselwirken. Sie lernen, Atome zu beschreiben, die aus Elektronen und einem Kern bestehen, sowie Systeme aus vielen Atomen. Schließlich besteht die ganze Welt ja aus Viel-Teilchen-System. Glücklicherweise ist die Quantenphysik dieser Aufgabe gewachsen.

11
    Viele identische Teilchen
    In diesem Kapitel ...
    Wellenfunktionen und Hamilton-Operatoren für Viel-Teilchen-Systeme
    Identische und unterscheidbare Teilchen
    Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen erkennen und erzeugen
    Elektronenschalen und das Periodensystem der Elemente
    Wasserstoffatome (siehe Kapitel 9) enthalten nur ein Proton und ein Elektron, doch alle anderen Atome enthalten mehr als ein Elektron. Wie geht man also mit derartigen Atomen um? Und wie geht man überhaupt mit Viel-Teilchen-Systemen wie einem einfachen Gas um?
    Im Allgemeinen kann man Aufgaben dieser Art nicht berechnen – jedenfalls nicht exakt. Stellen Sie sich allein die Komplexität der Bewegung von zwei Elektronen in einem Heliumatom vor: Sie müssen nicht nur die Wechselwirkung zwischen den Elektronen und dem Atomkern berücksichtigen, sondern auch die der Elektronen untereinander. Diese hängt natürlich von den jeweiligen Positionen ab. Demzufolge enthält der Hamilton-Operator nicht nur die Ausdrücke 1/r 1 für die potentielle Energie des ersten Elektrons und 1/r 2 für die des zweiten Elektrons, sondern auch einen Term proportional zu, der die potentielle Energie beschreibt, die auf der Wechselwirkung zwischen den beiden Elektronen beruht. Und das macht es unmöglich eine exakte Wellenfunktion zu berechnen.
    Allerdings gibt es verschiedene Möglichkeiten, um ein System mit mehreren Elektronen zu behandeln. Doch bevor man damit beginnt, sollte man sich bewusst sein, dass alle fundamentalen Teilchen der gleichen Art, wie etwa Elektronen und Photonen, ununterscheidbar sind. Es ist unmöglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen auf irgendeine Art so zu kennzeichnen, dass sich seine Identität sich an einem anderen Ort oder zu einem anderen Zeitpunkt feststellen lässt. Diese Tatsache hat fundamentale Folgen; sie führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie