Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

(die Sie in Kapitel 6 kennengelernt haben) benutzen:

    Fürlässt sich die Wellenfunktion beispielsweise wie folgt schreiben:

    Und fürergibt sich:

    Und was bedeutet das für die Energieentartung? Wenn Sie den Spin des Elektrons berücksichtigen, so gibt es zu jedem Zustand |n, l, m> zwei Spinzustände. Daraus folgt für die Entartung:

    Wenn man den Spin des Elektrons berücksichtigt, ist die Energieentartung des Wasserstoffatoms 2n 2 .
    Man kann auch noch den Spin des Protons in der Wellenfunktion berücksichtigen (obwohl man es gewöhnlich nicht macht, da der Spin des Protons nur wenig mit einem an das Wasserstoffatom angelegten Magnetfeld wechselwirkt). In diesem Fall sieht die Wellenfunktion folgendermaßen aus:

    Dabei ist s e der Spin des Elektrons, m se die z-Komponente des Elektronenspins, s p der Spin des Protons und m sp die z-Komponente des Protonenspins.
    Berücksichtigt man den Spin des Protons, so kann die Wellenfunktion in Abhängigkeit von m s vier verschiedene Formen annehmen:

    Die Entartung muss nun auch den Spin des Protons berücksichtigen. Somit gibt es zu jedem Zustand |n,l,m> vier Spinzustände. Daraus folgt für die Entartung:

Das Elektron ist schwer zu fassen
    Aber wo ist das Elektron zu einer bestimmten Zeit? Oder mit anderen Worten, wie weit ist das Elektron vom Proton entfernt? Man kann , den Erwartungswert von r, bestimmen, der darüber eine Aussage macht. Wenn ψ nlm (r, θ, φ) die Wellenfunktion ist, so gibt der folgende Ausdruck die Wahrscheinlichkeit an, dass das Elektron sich im Raumelement d 3 r befindet:

    In Kugelkoordinaten gilt d 3 r = r 2 sinθ dr dθ dφ; somit kann man |ψ nlm (r, θ, φ)| 2 d 3 r folgendermaßen schreiben:

    Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron in einer Kugelschale mit einem Radius von r bis r + dr befindet, lautet somit:

    Dagilt, folgt:

    Das kann man umschreiben:

    Und weiter:

    Da die Kugelfunktionen normalisiert sind, vereinfacht sich der Ausdruck:

    Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron in einer Kugelschale mit einem Radius von r bis r + dr befindet. Damit folgt für , den Erwartungswert von r:

    Das ist gerade:

    An dieser Stelle wird die Rechnung sehr kompliziert, da R nl (r) die Laguerre-Polynome enthält. Wendet man sehr viel Mathematik an, so erhält man folgendes Ergebnis:

    Dabei ist r 0 der Bohr'sche Radius:. Der Bohr'sche Radius beträgt 5,29 × 10 –11 Meter, somit beträgt der Erwartungswert der Entfernung des Elektrons vom Proton:

    So ist beispielsweise im 1s-Zustand (|1, 0, 0>) der Erwartungswert von r:

    Und im 4p-Zustand (|4, 1, m>):

    Und damit schließt dieses Kapitel, in dem eine der großartigsten Leistungen der Quantenmechanik, nämlich die exakte Beschreibung des Wasserstoffatoms mithilfe der Schrödinger-Gleichung, ausführlich erläutert wurde.

Das wichtigste von Kapitel 10 noch einmal in Kürze
    Das Wasserstoffatom ist das am einfachsten aufgebaute Atom, es ist auch das einzige, für das man die Schrödinger-Gleichung vollständig lösen kann. Es besteht aus einem Proton und einem Elektron, die sich gegenseitig umkreisen.
    Um das Problem zu vereinfachen, kann man die Annahme machen, dass sich das Proton in Ruhe befindet. Dann ist die Schrödinger-Gleichung zwar nicht mehr exakt, aber es ermöglicht Ihnen, das Problem zu lösen, so dass Sie auch in diesem Fall eine Fülle neuer Erkenntnisse gewinnen. Da das Potential dann nur noch vom Relativabstand abhängt, kann man zu Relativ- und Schwerpunkt-Koordinaten übergehen. Dieser Wechsel vereinfacht das Problem weiter, da man als Folge zwei Schrödinger-Gleichungen erhält, die man wiederum getrennt lösen kann. Dabei zeigt sich, dass der Einfluss von ψ( R ), der Wellenfunktion für den Massenschwerpunkt des Wasserstoffatoms, vernachlässigt werden kann. Demzufolge ist es ausreichend, im Folgenden nur die Schrödinger-Gleichung für ψ( r ) zu untersuchen, die ein gedachtes Teilchen der Masse m beschreibt. (Dabei entspricht m ungefähr m e und ψ( r ) etwa ψ( r e ).) Sie lautet:

    An dieser Stelle wendet man wieder den Separationsansatz an, der bereits in Kapitel 10 bei der Behandlung von Zentralpotentialen erläutert wurde. Das heißt, man spaltet die Wellenfunktion in einen winkelabhängigen und einen radialen Anteil auf:

    Da der winkelabhängige Teil aus den Kugelfunktionen Y lm (θ, φ) besteht, muss man im Folgenden nur noch die Lösung für die Radialgleichung bestimmen.
    Zu diesem Zweck betrachtet man zunächst die Lösungen