Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

anderen Raumschiff abhängt. Folglich ist das Potential aller Raumschiffe die Summe aus den jeweiligen Potentialen der einzelnen Raumschiffe. Wenn man N Raumschiffe betrachtet, gilt für das Potential:

    Wenn man die potentielle Energie, wie in diesem Fall, in eine Summe von unabhängigen Ausdrücken verwandeln kann, wird das Leben natürlich einfacher. Der Hamilton-Operator lautet dann folgendermaßen:

    Diese Gleichung ist doch bedeutend einfacher als die für das Atom mit 7 Elektronen:

    Beachten Sie, dass man die obige Gleichung für das Potential aller Raumschiffe in N verschiedene Gleichungen aufteilen kann:

    Die Gesamtenergie ist dann die Summe der Energien der einzelnen Raumschiffe:

    Und die Wellenfunktion ist das Produkt der Einzelfunktionen:

    Dabei ist Π ein Zeichen wie Σ, nur dass es für das Produkt der dahinter stehenden Terme steht, nicht für ihre Summe; n i weist auf alle Quantenzahlen für das i-te Teilchen hin.
    Wenn die Teilchen, mit denen Sie arbeiten, unterscheidbar sind und voneinander unabhängige Potentiale besitzen, so wird das Rechnen mit ihnen einfacher, wie Sie in diesem Abschnitt gesehen haben. Man kann dann das System in N voneinander unabhängige Einteilchen-Systeme unterteilen. Die Gesamtenergie ist dann die Summe der jeweiligen Energien der einzelnen Teilchen. Die Schrödinger-Gleichung lässt sich in N verschiedene Gleichungen aufteilen. Und die Wellenfunktion ist schließlich ein Produkt aus den Wellenfunktionen der N verschiedenen Teilchen.
    Betrachten wir ein Beispiel. Stellen Sie sich vor, Sie haben vier Teilchen mit unterschiedlicher Masse in einem Potentialtopf. Sie wollen die Energie und die Wellenfunktion des Systems bestimmen. Das Potential des Potentialtopfs lautet für jedes der nicht miteinander wechselwirkenden Teilchen wie folgt:
    V i (x i ) = 0 für 0 ≤ x i ≤ a
    V i (x i ) = ∞ für x i > a
    V i (x i ) = ∞ für x i < 0
    Somit lautet die Schrödinger-Gleichung:

    Man kann diese Gleichung separieren, sodass man vier Einteilchen-Gleichungen erhält:

    Dieses eindimensionale Problem wurde bereits in Kapitel 3 gelöst. Die Energieniveaus sind:

    Und weil die Gesamtenergiedie Summe der einzelnen Energien ist, gilt:

    Im Grundzustand aller vier Teilchen gilt n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = 1 und daher gilt für die Energie:

    Für ein Teilchen in einem Potentialtopf lautet die Wellenfunktion für ein eindimensionales System:

    Die Wellenfunktion für das Vier-Teilchen-System ist gerade das Produkt aus den einzelnen Wellenfunktionen und lautet:

    Für den Grundzustand n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = 1 lautet die Wellenfunktion beispielsweise:

    Systeme mit N unabhängigen, unterscheidbaren Teilchen lassen oft Lösungen zu, wie Sie hier gesehen haben; man muss das System nur in N unabhängige Gleichungen aufteilen.

Mit vielen identischen Teilchen jonglieren
    Das richtige Abenteuer beginnt erst, wenn die Teilchen in einem Viel-Teilchen-System alle ununterscheidbar sind. Wie wollen Sie dann wissen, welches Teilchen gerade wo ist, wenn Sie die Teilchen nicht auseinander halten können? Der folgende Abschnitt erklärt, was in diesem Fall passiert.

Symmetrie und Antisymmetrie
    Der Verlust der Individualität unter ähnlichen Teilchen bedeutet in der Praxis, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte unverändert bleibt, wenn man Teilchen austauscht. Wenn Sie beispielsweise Elektron 10281 mit Elektron 59830 vertauschen, haben Sie immer noch die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron d 3 r 10281 und d 3 r 59830 besetzt.
    Mathematisch betrachtet sieht das folgendermaßen aus (dabei sind r und s der Ort und der Spin der Teilchen):

    Diese Gleichung bedeutet, dass Folgendes gilt:

    Demzufolge muss die Wellenfunktion eines Systems mit N identischen Teilchen bei Austausch zweier Teilchen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein. Es stellt sich heraus, dass hier der Spin der entscheidende Faktor ist:
    Antisymmetrische Wellenfunktion: Wenn die Teilchen einen halbzahligen Spin haben (1/2, 3/2 usw.), lautet die Wellenfunktion bei Austausch zweier Teilchen:
    Symmetrische Wellenfunktion: Wenn die Teilchen einen ganzzahligen Spin haben (0, 1 usw.), lautet die Wellenfunktion bei Austausch zweier Teilchen:
    Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen zeigen ein unterschiedliches physikalisches Verhalten.
    Teilchen, die einen ganzzahligen Spin haben, wie Photonen oder Pi-Mesonen, werden Bosonen genannt. Teilchen mit halbzahligem Spin, wie Elektronen, Protonen und Neutronen heißen dagegen