Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

radiale Schrödinger-Glei-chung einsetzt:

    Führt man die Substitution durch, so erhält man die folgende Differentialgleichung:

    Aufgrund der Erfahrung, die Sie in den vorangegangenen Kapiteln gesammelt haben, werden Sie sich auch von dieser komplexen Differentialgleichung nicht erschrecken lassen. Wie Sie richtig vermuten, können Sie sich auch in diesem Fall auf die Mathematik verlassen, die Ihnen einen Weg zur Lösung bietet. Diesmal ist es ein sogenannter Potenzreihenansatz oder eine Reihen-Entwicklung , die Ihnen die Lösung erleichtert.
    Für f(r) lautet die Reihen-Entwicklung:

    Setzt man diese Gleichung in die obere ein, so erhält man:

    Wechselt man im zweiten Term den Index von k zu k – 1, so erhält man:

    Da jeder Term in dieser Summe null sein muss, erhält man:

    Teilt man durch r k–2 , ergibt sich:

    Die Gleichung ist die Rekursionsformel der unendlichen ReiheWenn man einen Koeffizienten kennt, kann man den nächsten mithilfe dieser Gleichung bestimmen. Aber was bringt Ihnen das? Betrachten Sie zum Beispiel das Verhältnis a k /a k–1 :

    Wenn k → ∞ geht, gilt für dieses Verhältnis:

    Das ähnelt der Entwicklung von e x , die folgendermaßen aussieht:

    Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Glieder lautet hier:

    Wenn k → ∞ geht, geht dieses Verhältnis gegen

    Das ist der Fall für e x . Für f(r) gilt:

    Vergleicht man diese beiden Gleichungen, so gilt offensichtlich:

    Die radiale Wellenfunktion R nl (r) lautet:

    Dabei ist.
    Setzt man nuninein, so erhält man folgende Gleichung:

    Sind Sie nun überglücklich vor Freude? Nicht wirklich. Die Wellenfunktion lautet folgendermaßen:. Setzt man die obige Gleichung hier ein, erhält man:

    Das sieht gut aus – abgesehen davon, dass es gegen unendlich geht, wenn r gegen unendlich geht. Sie erwarten eigentlich, dass ψ(r) null wird, wenn r gegen unendlich geht – demzufolge ist die Lösung R nl (r) = r l e λr absolut unphysikalisch. Mit anderen Worten, irgendwo ist irgendetwas schiefgelaufen.

Die Funktion f(r) endlich machen
    Die Lösung der radialen Gleichung muss null ergeben, wenn r gegen unendlich geht. Das Problem, dass ψ(r) unendlich wird, wenn r gegen unendlich geht, beruht auf der Form von f(r), die im vorangegangenen Abschnitt angenommenen wurde, nämlich:

    Die Lösung des Problems ist, die Reihe bei einem bestimmten Index abzubrechen, der N genannt wird. N heißt die radiale Quantenzahl . Damit erhält die Gleichung die folgende Form (beachten Sie, dass die Summation jetzt bis N geht, nicht bis unendlich):

    Da diese Reihe bei N abbricht, müssen a N+1 , a N+2 , a N+3 usw. null sein. Die Rekursionsformel für den Koeffizienten a k lautet:

    Wenn a N+1 null sein soll, muss der Faktor, mit dem a k-1 multipliziert wird, für k = N + 1 null sein. Das bedeutet:

    Teilt man durch 2, so folgt. Die Substitution N + l + 1 → n, wobei n Hauptquantenzahl heißt, ergibt:

    Das ist die Quantisierungsbedingung, die erfüllt werden muss, wenn die Reihe f(r) endlich sein soll, was aus physikalischen Gründen notwendig ist:

    Da, schränkt die Gleichungdie erlaubten Energiewerte ein.

Bestimmung der erlaubten Energien des Wasserstoffatoms
    Die Quantisierungsbedingung, die dafür sorgt, dass ψ(r) endlich bleibt, wenn r gegen unendlich geht, lautet:

    Dabei istSetzt man λ in die Quantisierungsbedingung ein, so erhält man:

    Jetzt löst man die Gleichung für die Energie E. Man quadriert beide Seiten:

    Damit erhält man die Energie E. ( Man beachte: Da E von der Hauptquantenzahl n abhängt, wurde E in E n umbenannt.):

    Physiker schreiben dieses Ergebnis häufig in einer Form, die sich auf den Bohr'schen Radius r 0 bezieht; das ist der Radius, den Niels Bohr für ein Elektron im Wasserstoffatom berechnet hat. Der Bohr'sche Radius lautet
    Die Gleichung für die Energie E n lautet mithilfe von r 0 ausgedrückt:

    Für die Energie im Grundzustand, wo n = 1 ist, erhält man E = –13,6 eV.
    Beachten Sie, dass diese Energie negativ ist, da das Elektron sich in einem gebundenen Zustand befindet – man muss dem Elektron Energie zuführen, damit es dem Wasserstoffatom entkommen kann. Hier folgen die ersten beiden angeregten Zustände:
    Erster angeregter Zustand, n = 2: E = –3,4 eV
    Zweiter angeregter Zustand, n = 3: E = –1,5 eV
    Damit haben Sie also die Quantisierungsbedingung

    benutzt, um die Energieniveaus des Wasserstoffatoms zu berechnen.

Die Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung
    In diesem Abschnitt wird die