Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Teilchen und betrachtet symmetrische und antisymmetrische Funktionen.
    Betrachten Sie die allgemeine Wellenfunktion für N Teilchen:

    Man beachte: Um die Sache einfacher zu machen, wird in diesem Kapitel nur die Symmetrie in Abhängigkeit von der Ortskoordinate r betrachtet; Sie können aber auch andere Größen berücksichtigen, wie etwa Spin, Geschwindigkeit usw. Das würde die Aussagen nicht grundsätzlich verändern: Man kann alle messbaren Quantenzustände, wie Ort, Geschwindigkeit usw., in einem Quantenzustand zusammenfassen, der ξ genannt werden soll. Wenn Sie das machen, erhält die allgemeine Wellenfunktion für N Teilchen die folgende Form: ψ(ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ i , ..., ξ j , ..., ξ N ). Doch wie bereits gesagt, um die Sache einfacher zu machen, behandelt dieser Abschnitt nur die Wellenfunktion ψ( r 1 , r 2 , ..., r i , ..., r j , ..., r N ).
    Nun stellen Sie sich vor, dass Sie einen Austauschoperator P ij haben, der die Teilchen i und j vertauscht. Mit anderen Worten:

    Und da P ij = P ji ist, folgt:

    Das zweimalige Anwenden des Austauschoperators bringt die vertauschten Teilchen wieder an ihren ehemaligen Platz zurück, somit ist P ij 2 = 1. Das bedeutet:

    Im Allgemeinen kommutieren P ij und P lm nicht (wenn ij ≠ lm). Das bedeutet P ij P lm ≠ P lm P ij (ij ≠ lm). Deshalb ist [P ij ,P lm ] ≠ 0 (ij ≠ lm). Betrachten Sie beispielsweise vier Teilchen, deren Wellenfunktion folgendermaßen lautet:

    Lassen Sie die Austauschoperatoren P 12 und P 14 auf die Wellenfunktion wirken, um zu sehen, ob P 12 P 14 gleich P 14 P 12 ist. Es ist:

    Daher folgt:

    Betrachten Sie nun P 14 P 12 ψ( r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ). Es ergibt:

    Somit erhält man für:

    Vergleicht manmit der letzten Gleichung, so erkennt man, dass P 12 P 14 ψ( r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) ≠ P 14 P 12 ψ( r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) ist. Mit anderen Worten, es ist von Bedeutung , in welcher Reihenfolge man die Austauschoperatoren anwendet.

Einteilung in symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen
    Da P ij 2 = 1 (siehe obigen Abschnitt) ist, hat P ij die möglichen Eigenwerte 1 und –1, wenn eine Wellenfunktion eine Eigenfunktion von P ij ist. Für ψ( r 1 , r 2 , ..., r i , ..., r j , ..., r N ) lautet eine Eigenfunktion von P ij :

    Das bedeutet, dass es zwei Sorten von Eigenfunktionen des Austauschoperators gibt:
    Symmetrische Eigenfunktionen:
    Antisymmetrische Eigenfunktionen:
    Betrachten wir also einige symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen. Was ist mit der folgenden – ist sie symmetrisch oder antisymmetrisch?

    Man kann den Vertauschungsoperator P 12 anlegen:

    Da (r 1 – r 2 ) 2 = (r 2 – r 1 ) 2 , ist ψ 1 ( r 1 , r 2 ) eine symmetrische Wellenfunktion, weil dann ja P 12 ψ 1 ( r 1 , r 2 ) = ψ 1 ( r 1 , r 2 ).
    Was ist mit dieser Wellenfunktion?

    Wenden Sie wieder den Austauschoperator P 12 an:

    Gut, da, gilt P 12 ψ 2 ( r 1 , r 2 ) = ψ 2 ( r 1 , r 2 ), somit ist ψ 2 ( r 1 , r 2 ) symmetrisch.
    Eine weitere Wellenfunktion lautet:

    Jetzt wendet man P 12 an:

    Wie verhalten sich die beiden Gleichungen zueinander? Daist, ist also P 12 ψ 3 ( r 1 , r 2 ) = –ψ 3 ( r 1 , r 2 ). Daher ist ψ 3 ( r 1 , r 2 ) antisymmetrisch.
    Und was ist mit dieser Wellenfunktion?

    Man wendet P 12 an:

    Und wie verhält sich diese zur Ursprungsgleichung?

    Offensichtlich ist ψ 4 ( r 1 , r 2 ) symmetrisch.
    Sie denken jetzt wohl, das könnte so weitergehen, aber was ist mit der nächsten Wellenfunktion?

    Man wendet jetzt P 12 an:

    Wie verhalten sich die beiden Gleichungen zueinander?

    Somit ist ψ 5 ( r 1 , r 2 ) weder symmetrisch noch antisymmetrisch. Mit anderen Worten, ψ 5 ( r 1 , 2 ) ist keine Eigenfunktion des Austauschoperators P 12 .

Systeme mit vielen unterscheidbaren Teilchen
    Wenn Sie dieses Kapitel von Anfang an gelesen haben, wissen Sie jetzt etwas über den Austausch von Teilchen. Jetzt betrachten Sie ein System von Teilchen, die man unterscheiden kann, also ein System von erkennbar verschiedenen Teilchen. Wie Sie in diesem Abschnitt sehen werden, kann man solche Systeme entkoppeln und in linear unabhängige Gleichungen auflösen.
    Stellen Sie sich vor, Sie haben ein System aus zahlreichen verschiedenen Raumschiffen, die im Raum treiben. Sie können all diese Raumschiffe unterscheiden, da sie alle verschieden sind – sie haben beispielsweise verschiedene Massen.
    Jedes Raumschiff beeinflusst nur sein eigenes Potential; das bedeutet, dass das Potential jedes Raumschiffes nicht von den Potentialen der