Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

bestimmen.
    Demzufolge liegt der Schwerpunkt dieses Kapitels – neben einer Untersuchung von Systemen mit unterscheidbaren Teilchen – insbesondere in der Behandlung von Systemen mit identischen Teilchen. Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Viel-Teilchen-Systemen ist der Austauschoperator P ij , der im folgenden eingeführt wird. Mit seiner Hilfe kann man den Symmetriecharakter eines Systems beim Austausch von zwei Teilchen untersuchen. Dabei wird sich zeigen, dass man zwischen symmetrischen und antisymmetrischen Wellenfunktionen unterscheiden kann, was wiederum weitreichende Folgen hat.
    Doch zunächst beginnt dieses Kapitel mit einer allgemeinen Einführung in die Problematik von Viel-Teilchen-Systemen.

Wellenfunktionen und Hamilton-Operatoren
    Beginnen wir bei der Wellenfunktion. Der Zustand eines Systems mit vielen Teilchen, wie es in Abbildung 11.1 dargestellt ist, wird durch ψ( r 1 , r 2 , r 3 ...) beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Teilchen 1 in d 3 r 1 befindet, Teilchen 2 in d 3 r 2 , Teilchen 3 in d 3 r 3 usw. ist:

    Die Normalisierung von ψ( r 1 , r 2 , r 3 ...) verlangt, dass Folgendes gilt:

    Gut, und wie sieht der Hamilton-Operator aus, der die Energiezustände liefert? Wie sieht H aus, wenn Hψ( r 1 , r 2 , r 3 ...) = Eψ( r 1 , r 2 , r 3 ...)? Wenn Sie mit einem einzelnen Teilchen rechnen, können Sie die Gleichung wie folgt schreiben:

    Das kann man auch folgendermaßen ausdrücken:

    Die Gesamtenergie des Systems ist die Summe aus den Energien der einzelnen Teilchen (ignorieren Sie im Moment den Spin). Man kann also den Hamilton-Operator für Viel-Teilchen-Systeme folgendermaßen verallgemeinern:

    Daraus ergibt sich Folgendes:

    Dabei ist m i die Masse des i-ten Teilchens und V das Vielteilchen-Potential.

Nobelpreiswürdig: Nachdenken über Viel-Elektronen-Atome
    Dieser Abschnitt beschäftigt sich damit, wie der Hamilton-Operator (siehe den vorangegangenen Abschnitt) für ein neutrales Viel-Elektronen-Atom aussieht. Ein Viel-Elektronen-Atom, wie in Abbildung 11.2 dargestellt, ist das in der Quantenphysik am häufigsten betrachtete Viel-Teilchen-System. R beschreibt den Ort des Kerns (relativ zum Massenschwerpunkt), r 1 gibt den Ort des ersten Elektrons an (relativ zum Massenschwerpunkt), r 2 den des zweiten usw.
     
    Abbildung 11.2 : Ein Viel-Elektronen-Atom
    Wenn man Z Elektronen hat, wird die Wellenfunktion durch ψ( r 1 , r 2 , r 3 , ..., r z , R ) beschrieben. Für die kinetische Energie der Elektronen und des Kerns gilt Folgendes:

    Die potentielle Energie des Systems ist:

    Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, erhält man die Gesamtenergie (E = E kin + E pot ) eines Viel-Elektronen-Atoms:

    Das sieht nun allerdings ziemlich verworren aus. Wollen Sie den Nobelpreis in Physik gewinnen? Dann müssen Sie nur die Lösung der obigen Gleichung präsentieren. Für alle Viel-Teilchen-Systeme, in denen alle Teilchen miteinander wechselwirken, gilt, dass man diese Gleichung nicht in N unabhängige Gleichungen aufteilen kann.
    Betrachtet man Viel-Teilchen-Systeme, in denen die N Teilchen nicht miteinander wechselwirken, so kann man die Schrödinger-Gleichung in einen Satz von N unabhängigen Gleichungen aufspalten und deren Lösungen finden. Wenn die Teilchen allerdings miteinander wechselwirken und die Schrödinger-Gleichung von dieser Wechselwirkung abhängig ist, so kann man sie nicht für eine größere Zahl von Teilchen lösen.
    Das heißt allerdings nicht, dass alles verloren ist. Man kann immer noch eine Menge über Gleichungen wie diese sagen, wenn man geschickt ist. Am Besten beginnt man mit einer Prüfung der Symmetrie des Problems, was im folgenden Abschnitt erläutert wird.

Ein hilfreiches Werkzeug: Austauschsymmetrie
    Obwohl es unmöglich ist, eine allgemeine Lösung für eine Gleichung wie die der Gesamtenergie eines Vielteilchen-Atoms (vgl. vorangegangener Abschnitt) zu finden, kann man sich überlegen, was passiert, wenn man Teilchen miteinander vertauscht – und das Ergebnis ist sehr aufschlussreich. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Idee der Austauschsymmetrie.

Die Ordnung zählt: Teilchen mit dem Austauschoperator vertauschen
    Sie können herausfinden, was mit der Wellenfunktion passiert, wenn man zwei Teilchen miteinander vertauscht. Bei solchen Überlegungen gibt die Symmetrie der Wellenfunktion Aufschluss darüber, ob zwei Teilchen denselben Quantenzustand besetzen können. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Austausch von