Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Berechnung der Wellenfunktionen vervollständigt. Betrachten Sie die Bestimmung von R nl (r) (siehe den vorangegangenen Abschnitt ,,Zusammenfügen der Lösungen für die Radialgleichung“). Sie wissen also das Folgende:
    , wobeigilt. Somit folgt:

    Das ist allerdings nicht ausreichend; die obige Gleichung stammt aus der Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung:

    Die Lösung stimmt – bis auf eine multiplikative Konstante; also fügt man eine solche Konstante A nl hinzu, die von der Hauptquantenzahl n und der Drehimpulsquantenzahl l abhängt:

    Man bestimmt A nl , indem man R nl (r) normiert.
    Versuchen Sie jetzt, die Lösung für R nl (r) zu bestimmen, indem Sie einfach weiterrechnen. Versuchen Sie es beispielsweise für R 10 (r). In diesem Fall ist n = 1 und l = 0. Da N + l + 1 = n, folgt N = n – l – 1. Somit ist hier N = 0. Damit folgt für R nl (r):

    Die Summe in dieser Gleichung ist dann, somit folgt:

    Da l = 0 ist, ist r l = 1, sodassmit. Deshalb kann manauch folgendermaßen schreiben:

    Dabei ist r 0 der Bohr'sche Radius. Um A 10 und a 0 zu finden, muss man ψ 100 (r, θ, φ) normieren, was bedeutet, |ψ 100 (r, θ, φ)| 2 d 3 r über den gesamten Raum zu integrieren und das Ergebnis gleich 1 zu setzen.
    Hier gilt d 3 r = r 2 sinθ dr d θ dφ; die Integration der Kugelfunktionen, wie etwa Y 00 , über die gesamte Kugelergibt 1. Es muss folglich nur noch der radiale Teil normiert werden:

    Setzt maninein, so folgt:

    Diese Art von Integral kann man mithilfe folgender Gleichung lösen:

    Somit gilt für die Gleichungfolgendes:

    Daraus folgt:

    Das ist ein wirklich einfaches Ergebnis. Da A 10 nur dazu dient, das Ergebnis zu normieren, kann man A 10 gleich 1 setzen (das wäre nicht der Fall, wennMehrfach-Ausdrücke enthalten würde). Daher ist. Das ist schön; man erhält somit für R 10 (r), das durch die Gleichunggegeben ist, folgenden Ausdruck:

    Sie wissen, dassgilt.
    Somit erhält man für ψ 100 (r, θ, φ):

    Phantastisch! Ganz allgemein lautet die Wellenfunktion ψ 100 (r, θ, φ) für Wasserstoff folgendermaßen:

    Dabei sinddie zugeordneten Laguerre-Polynome. Die ersten Laguerre-Polynome lauten:

Die Energieentartung beim Wasserstoffatom
    Jeder Quantenzustand des Wasserstoffatoms ist durch drei Quantenzahlen gekennzeichnet: n (die Hauptquantenzahl), l (die Drehimpulsquantenzahl des Elektrons) und m (die z-Komponente des Drehimpulses des Elektrons); die Wellenfunktion lautet also ψ nlm (r, θ, φ). Wie viele dieser Zustände haben dieselbe Energie? Mit anderen Worten, wie drückt man die Energieentartung beim Wasserstoffatom anhand der Quantenzahlen n, l und m aus?
    Wie Sie im Abschnitt ,,Bestimmung der erlaubten Energien des Wasserstoffatoms“ gesehen haben, hängt die aktuelle Energie nur von n ab:

    Das bedeutet, dass E unabhängig von l und m ist. Wie viele Zustände |n,l,m> haben dieselbe Energie für einen bestimmten Wert von n? Sie wissen, dass l für einen bestimmten Wert von n von 0 bis n – 1 gehen kann. Und jedes l kann verschiedene Werte von m haben. Somit gilt für die gesamte Entartung:

    Die Entartung in m ist die Zahl der Zustände mit verschiedenen Werten von m, die denselben Wert l besitzen. Für jeden bestimmten Wert von l kann m die Werte –l, –l + 1, ... , 0, ... , l – 1, l annehmen. Das sind (2l + 1) mögliche Zustände von m für einen bestimmten Wert von l. Somit kann man (2l + 1) für die Entartung in m einsetzen:

    Es ist bekannt, dass diese Reihe gerade n 2 ergibt.
    Die Entartung der Energieniveaus des Wasserstoffatoms ist also n 2 . Der Grundzustand n = 1 hat beispielsweise die Entartung = n 2 =1 (was Sinn macht, da l und somit m in diesem Zustand nur null sein können).
    Für n = 2 hat man eine Entartung von 4:

    Phantastisch!

Quantenzustände mit Spin
    Sie haben sich vielleicht schon gefragt, was mit dem Spin des Elektrons ist? Sie haben Recht! Der Spin des Elektrons sorgt für weitere Quantenzustände. In diesem Abschnitt haben Sie bis jetzt die Wellenfunktion des Wasserstoffatoms als Produkt aus einem radialen und einem winkelabhängigen Teil betrachtet:

    Jetzt können Sie einen spinabhängigen Teil hinzufügen, entsprechend dem Spin des Elektrons. Dabei sind s der Spin des Elektrons und m s die z-Komponente des Spins:

    Der spinabhängige Teil der Gleichung kann folgende Werte annehmen:

    Auswird jetzt:

    Diese Wellenfunktion kann in Abhängigkeit von m s zwei verschiedene Formen annehmen:

    Sie können auch folgende Darstellung des Spins