Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Fermionen . Ein System aus Fermionen verhält sich völlig anders als ein System aus Bosonen.

Austausch-Entartung: Der gleichbleibende Hamilton-Operator
    Man kann den Hamilton-Operator wie folgt schreiben:

    Er ändert sich nicht, wenn man zwei identische Teilchen austauscht. Mit anderen Worten, der Hamilton-Operator ändert sich nicht, egal wie viele identische Teilchen man austauscht. Das nennt man Austausch-Entartung, mathematisch ausgedrückt:

    Das heißt nebenbei bemerkt, dass der Austauschoperator P ij eine Invariante der Bewegung ist, da er mit dem Hamilton-Operator kommutiert:

Zusammengesetzte Teilchen und ihre Symmetrie
    Im vorletzten Abschnitt »Symmetrie und Antisymmetrie« wurde gezeigt, dass die Wellenfunktion eines Systems von N Teilchen bei Austausch zweier Teilchen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist:
    Symmetrisch:
    Antisymmetrisch:
    Dies ist die Grundlage des Symmetrisierungspostulats , das besagt, dass es in einem System aus N identischen Teilchen nur symmetrische oder antisymmetrische Zustände gibt; und damit insbesondere, dass keine Zustände mit gemischter Symmetrie auftreten können.
    Das Symmetrisierungspostulat, wie es auch in der Natur beobachtet wird, besagt also, dass
    Teilchen mit halbzahligem Spin (1/2, 3/2, 5/2, ...) Fermionen sind und bei Austausch zweier Teilchen antisymmetrische Zustände annehmen.
    Teilchen mit ganzzahligem Spin (0, 1, 2, ...) Bosonen sind und bei Austausch zweier Teilchen symmetrische Zustände annehmen.
    Demzufolge ist die Wellenfunktion von N Fermionen vollständig antisymmetrisch, während die Wellenfunktion von N Bosonen vollständig symmetrisch ist.
    Es sieht so aus, als könne man sehr einfach bestimmen, ob ein Teilchen ein Fermion oder ein Boson ist – man schaut es sich einfach an. Elektronen, Protonen und Neutronen sind beispielsweise Fermionen, denn sie haben einen halbzahligen Spin. Und Photonen, Pi-Mesonen usw. sind Bosonen, mit ganzzahligem Spin.
    Was ist aber nun, wenn das Teilchen, das Sie betrachten, ein zusammengesetztes Teilchen ist? Was ist, wenn Sie beispielsweise ein Alpha-Teilchen betrachten, das aus zwei Protonen und zwei Neutronen besteht? Ist das ein Fermion oder ein Boson?
    Protonen und Neutronen bestehen tatsächlich aus je drei Quarks, Pi-Mesonen hingegen aus zwei Quarks – und Quarks haben den Spin 1 / 2 .
    Zusammengesetze Teilchen können ebenfalls Fermionen oder Bosonen sein; das hängt davon ab, ob der Gesamtspin des zusammengesetzten Teilchens halb- oder ganzzahlig ist. Wenn der Spin des zusammengesetzten Teilchens 1/2, 3/2, 5/2 usw. ist, so ist es ein Fermion. Wenn der Spin des zusammengesetzten Teilchens 0, 1, 2 usw. ist, dann handelt es sich um ein Boson.
    Im Allgemeinen gilt, dass das zusammengesetzte Teilchen ein Fermion ist, wenn es aus einer ungeraden Anzahl von Fermionen besteht. Sonst ist es ein Boson. Da Quarks Fermionen sind und Protonen und Neutronen aus jeweils drei Quarks bestehen, sind diese schließlich Fermionen. Da das Pi-Meson aus zwei Quarks besteht, ist es ein Boson. Das Alpha-Teilchen, das aus zwei Protonen und zwei Neutronen besteht, ist ein Boson. Man kann auch Atome als zusammengesetzte Teilchen betrachten. Nehmen Sie beispielsweise das Wasserstoffatom: Es besteht aus einem Proton (ein Fermion) und einem Elektron (ebenfalls ein Fermion), zusammen also zwei Fermionen. Das macht das Wasserstoffatom also zu einem Boson.

Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen
    Zahlreiche Wellenfunktionen, die Lösungen physikalischer Problemstellungen wie etwa beim Potentialtopf sind, sind nicht von Natur aus symmetrisch oder antisymmetrisch; sie sind einfach nur asymmetrisch . Mit anderen Worten, sie haben keine definierte Symmetrie. Wie gelangt man in solchen Fällen zu symmetrischen oder antisymmetrischen Wellenfunktionen?
    Die Antwort lautet, dass Sie sie selber erzeugen müssen, und das tun Sie, indem Sie asymmetrische Funktionen addieren. Betrachten Sie beispielsweise eine asymmetrische Wellenfunktion von zwei Teilchen, ψ( r 1 s 1 , r 2 s 2 ).
    Um eine symmetrische Wellenfunktion zu erzeugen, müssen Sie ψ( r 1 s 1 , r 2 s 2 ) zu ψ( r 2 s 2 , r 1 s 1 ), bei der die beiden Teilchen vertauscht sind, addieren. Nimmt man an, dass ψ( r 1 s 1 , r 2 s 2 ) und ψ( r 2 s 2 , r 1 s 1 ) normalisiert sind, kann man so eine symmetrische Wellenfunktion erzeugen:

    Wenn man die beiden Wellenfunktionen voneinander subtrahiert, erhält man eine antisymmetrische Wellenfunktion:

    Diese Rechnung wird schnell