Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

umfangreicher, wenn Sie mehr Teilchen hinzunehmen, da alle Teilchen vertauscht werden müssen. Wie sieht zum Beispiel eine symmetrische Wellenfunktion aus, die auf der asymmetrischen Wellenfunktion ψ( r 1 s 1 , r 2 s 2 , r 3 s 3 ) beruht? Sie lautet folgendermaßen:

    Und was ist mit der antisymmetrischen Wellenfunktion? Sie lautet:

    Auf diese Weise kann man theoretisch symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen für jedes System aus N Teilchen erzeugen.

Identische nicht wechselwirkende Teilchen
    Wenn man mit identischen, nicht wechselwirkenden Teilchen arbeitet, wird alles viel einfacher, da man die Gleichungen einzeln behandeln kann und nicht alles in eine einzige stecken muss. Stellen Sie sich vor, Sie haben ein System aus N identischen Teilchen, wobei jedes das gleiche Potential spürt. Dann kann man die Schrödinger-Gleichung in N identische Ein-Teilchen-Gleichungen separieren:

    Die Gesamtenergie ergibt sich dabei aus der Summe der Energien der einzelnen Teilchen:

    Jetzt betrachten Sie die Wellenfunktion des Systems. Weiter oben in diesem Kapitel (im Abschnitt »Systeme mit vielen unterscheidbaren Teilchen«) haben Sie die Wellenfunktion für ein System von N unterscheidbaren Teilchen betrachtet und als Ergebnis das Produkt aus den einzelnen Wellenfunktionen erhalten:

    Diese Gleichung gilt jedoch nicht für identische Teilchen, da man nicht sagen kann, Teilchen 1 ist in Zustand ψ 1 ( r 1 ), Teilchen 2 ist in Zustand ψ 2 ( r 2 ) usw. Es handelt sich hier ja um identische Teilchen, nicht um unterscheidbare wie weiter oben.
    Diese Gleichung kann hier außerdem nicht gelten, da ihr die innewohnende Symmetrie fehlt, denn Systeme aus N identischen Teilchen müssen eine definierte Symmetrie besitzen. Man kann dann die Wellenfunktionen also nicht einfach multiplizieren, sondern muss ein wenig vorsichtiger sein.

Wellenfunktionen in Zwei-Teilchen-Systemen
    Wie erstellt man symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen für ein Zwei-Teilchen-System? Man beginnt mit den Ein-Teilchen-Wellenfunktionen (siehe den vorletzten Abschnitt »Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen«):

    Entsprechend lautet die symmetrische Wellenfunktion, die hier aus zwei Ein-Teilchen-Wellenfunktionen besteht, wie folgt:

    Und die antisymmetrische Wellenfunktion, die ebenfalls aus zwei Ein-Teilchen-Wellenfunktionen besteht, lautet:

    Dabei steht n i für sämtliche Quantenzahlen des i-ten Teilchens.
    Beachten Sie insbesondere, dass ψ a ( r 1 s 1 , r 2 s 2 ) = 0, wenn n 1 = n 2 . Das bedeutet, dass die antisymmetrische Wellenfunktion verschwindet, wenn zwei Teilchen den gleichen Satz von Quantenzahlen haben; das ist dann der Fall, wenn sich beide im gleichen Quantenzustand befinden. Daraus ergeben sich wichtige physikalische Folgen.
    Man kann ψ s ( r 1 s 1 , r 2 s 2 ) auch folgendermaßen ausdrücken:

    wobei P der Permutationsoperator ist, der die Permutation seiner Argumente bewirkt, und das Fakultät-Zeichen auf die zwei möglichen Permutationen hinweist.
    Und ψ a ( r 1 s 1 , r 2 s 2 ) kann man wie folgt schreiben:

    Dabei ist der Ausdruck (–1) P gleich 1 für gerade Permutationen (bei denen man beides vertauscht, r 1 s 1 und r 2 s 2 und n 1 und n 2 ) und –1 für ungerade Permutationen (bei denen r 1 s 1 und r 2 s 2 vertauscht wird, nicht aber n 1 und n 2 ; oder man vertauscht n 1 und n 2 , nicht aber r 1 s 1 und r 2 s 2 ).
    Manchmal drückt man ψ a ( r 1 s 1 , r 2 s 2 ) auch mithilfe einer Determinante aus:

    Beachten Sie, dass diese Determinante 0 ergibt, wenn n 1 = n 2 .

Wellenfunktionen für Drei-Teilchen-oder-mehr-Systeme
    Auch bei einem Drei-Teilchen-System wird die Wellenfunktion aus Ein-Teilchen-Wellenfunktionen zusammengesetzt.
    Die symmetrische Wellenfunktion lautet:

    Und die antisymmetrische Wellenfunktion ist:

    Das Fakultät-Zeichen weist auf die 6 (= 3!) möglichen Permutationen hin. Diese antisymmetrische Wellenfunktion wird null, wenn auch nur zwei Teilchen den gleichen Satz von Quantenzahlen haben (n i = n j , i ≠ j).
    Nun erraten Sie sicher schon, wie man diese Gleichungen für ein System von N Teilchen verallgemeinern kann? Hier lautet die symmetrische Wellenfunktion:

    Und die antisymmetrische Wellenfunktion lautet:

    Die große Erkenntnis ist, dass die antisymmetrische Wellenfunktion null wird, wenn auch nur zwei Teilchen den gleichen Satz von Quantenzahlen haben (n i = n j , i ≠ j), denn das hat wichtige Folgen für die Physik, wie Sie als nächstes sehen werden.

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