Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

werden. (Man beachte: Deshalb heißt es Störungstheorie und nicht Starke-Beeinträchtigungs-Theorie .) Die Änderung, die Sie am System vornehmen, ist so gering, dass Sie die neuen Energieniveaus und Wellenfunktionen über Korrekturen der ursprünglichen Energieniveaus und Wellenfunktionen des ungestörten Systems berechnen können.
    Was bedeutet es nun für physikalische Ausdrücke, wenn man von Störungen spricht? Stellen Sie sich vor, Sie haben folgenden Hamilton-Operator:

    Dabei ist H 0 der bekannte Hamilton-Operator mit bekannten Eigenfunktionen und Eigenwerten und λW der sogenannte Störterm des Hamilton-Operators, wobei λ1 darauf hinweist, dass λW ein kleiner Zusatzterm ist.
    Probleme dieser Art löst man, indem man die Eigenzustände dieses Hamilton-Operators bestimmt. Mit anderen Worten, Sie wollen folgende Aufgabe lösen:

    Der Lösungsweg für diese Gleichung hängt davon ab, ob die bekannte, ursprüngliche Lösung von H 0 entartet (das bedeutet, dass verschiedene Zustände dieselbe Energie haben) oder nicht entartet ist. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit dem nicht entarteten Fall.

Störungstheorie für nicht entartete Ausgangszustände
    Dieser Abschnitt behandelt den Fall, dass der ungestörte Hamilton-Operator H 0 nicht entartete Lösungen hat. Das heißt, zu jedem Zustand |φ n gibt es genau eine Energie E n , die für alle Zustände unterschiedlich ist:(genau wie eine bijektive Funktion zu jedem y-Wert nur einen x-Wert hat). Man bezeichnet die nicht entarteten Energieniveaus des ungestörten Hamilton-Operators mit, um ihn von den Korrekturen, die die Störung erforderlich macht, zu unterscheiden. Somit lautet die Gleichung:

    Die Energieniveaus des gestörten Systems werden im Folgenden mit E n bezeichnet.
    Die Idee der Störungstheorie ist, dass man auf der Grundlage des Parameters λ (der sehr viel kleiner als eins ist) eine sogenannte Reihenentwicklung machen kann, um die Wellenfunktionen und die Energieniveaus des gestörten Systems zu berechnen. Im folgenden Abschnitt geht es um eine Entwicklung bis zum Term mit λ 2 .

Eine kleine Entwicklung: Störung der Gleichungen
    Um die Energie des gestörten Systems E n zu berechnen, beginnt man mit der Energie des ungestörten Systems:

    Anschließend addiert man den Korrekturterm erster Ordnungzur Energie:

    Dann addiert man, den Korrekturterm zweiter Ordnung:

    Auch bei |ψ n , der Wellenfunktion des gestörten Systems, beginnt man mit der Wellenfunktion des ungestörten Systems |φ n :

    Man addiert den Korrekturterm erster Ordnung:

    Anschließend addiert man den Korrekturterm zweiter Ordnung zur Wellenfunktion:

    Wenn λ → 0 geht, wird ausdie ungestörte Energie:

    und ausdie ungestörte Wellenfunktion:

    Jetzt ist es also Ihre Aufgabe,undsowieundzu bestimmen. Wie macht man das im Allgemeinen? Nun ist es wohl an der Zeit, ein wenig Mathematik ins Spiel zu bringen. Sie müssen mit drei gestörten Gleichungen beginnen:
    Hamilton-Operator:
    Energieniveaus:
    Wellenfunktionen:
    Verbindet man diese drei Gleichungen, so erhält man die folgende Monstergleichung:

Anpassen der Koeffizienten von λ und Vereinfachung
    Man kann die Monstergleichung im vorangegangenen Abschnitt behandeln, indem man die Koeffizienten von λ auf beiden Seiten der Gleichung gleichsetzt.
    Setzt man die Terme nullter Ordnung in λ auf beiden Seiten gleich, erhält man folgende Beziehung:

    Nun betrachtet man die Terme erster Ordnung in λ; setzt man sie auf beiden Seiten der Monstergleichung gleich, so erhält man folgenden Ausdruck:

    Anschließend setzt man die Koeffizienten von λ 2 in der Monstergleichung gleich und erhält folgenden Ausdruck:

    Dies ist also die Gleichung, die sich aus den Termen zweiter Ordnung in λ ergibt. Nun müssen Sie,usw. bestimmen, indem Sie die Gleichungen nullter, erster und zweiter Ordnung benutzen.
    Beachten Sie zunächst, dass die ungestörte Wellenfunktion |φ n sich nur wenig von der gestörten Wellenfunktion |ψ n unterscheidet, da die Störung nur gering ist. Das bedeutet, dassφ n |ψ n 1 ist. Sie können also |ψ n so normalisieren, dassφ n |ψ n genau gleich 1 ist:

    Da die Gleichunggilt, folgt für die obige Gleichung:

    Da die Koeffizienten von λ beide verschwinden müssen, erhält man folgende Gleichung:

    Diese Gleichung ist nützlich, um die Rechnungen zu vereinfachen.

Die Korrekturen erster Ordnung bestimmen
    Nachdem man die Koeffizienten von λ angepasst und vereinfacht hat (siehe vorheriger Abschnitt), kann man