Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

die Korrekturen erster Ordnung für die Energieniveaus und die Wellenfunktionen bestimmen. Man erhält, die Korrektur erster Ordnung der Energie, durch die Multiplikation vonmitφ n |:

    Man kannbenutzen, um diese Gleichung zu folgendem Ausdruck zu vereinfachen:

    Dies ist also der Ausdruck für, die Korrektur erster Ordnung.
    Jetzt mussbestimmt werden, die Korrektur erster Ordnung der Wellenfunktion. Man kann die Gleichung der Wellenfunktion mit dem folgenden Ausdruck multiplizieren, der gleich 1 ist:

    Somit erhält man:

    Man beachte, dass der Term für m = n null ergibt, da.
    Man kann nundurch die Multiplikation vonmitφ m | berechnen. Man erhält:

    Setzt man diesen Ausdruck inein, so erhält man:

    Das ist also der Ausdruck für, die Korrektur erster Ordnung der Wellenfunktion. Wie Sie wissen, besteht die Wellenfunktion aus den Korrekturen nullter, erster und zweiter Ordnung und lautet:

    Vernachlässigt man im Moment die Korrektur zweiter Ordnung und setztfür die Korrektur erster Ordnung in die Wellenfunktion des gestörten Systems ein, so erhält man den Ausdruck:

    Das ist die Wellenfunktion des gestörten Systems. Sie enthält allerdings nur die Korrektur erster Ordnung. Was ist also mit der zweiter Ordnung? Lesen Sie einfach weiter.

Die Korrekturen zweiter Ordnung
    Jetzt kann man die Korrekturen zweiter Ordnung für die Energieniveaus und die Wellenfunktionen bestimmen (der vorherige Abschnitt enthält die Korrekturen erster Ordnung). Man kannberechnen, indem man beide Seiten der Gleichungmit <φ n | multipliziert:

    Das sieht wie eine sehr komplizierte Gleichung aus, doch nur solange, bis Sie bemerken, dassnull ergibt. Somit erhält man Folgendes:

    Und daebenfalls null ergibt, erhält man folgenden Ausdruck:

    Danur eine Zahl ist, folgt:

    Und weil natürlich <φ n , φ n > = 1 ist, erhält man die Gleichung:

    Beachten sie, dass die Korrektur zweiter Ordnung null wird, wennein Eigenzustand von W ist.
    Somit gilt also. Dies kann man vereinfachen, indem manbenutzt. Setzt man diese Gleichung inein, so erhält man den Ausdruck:

    Somit erhält man die beiden GleichungenundFür die Gesamtenergie mit den Korrekturen erster und zweiter Ordnung gilt:

    Somit ergibt sich folgender Ausdruck für die Gesamtenergie:

    Sie kennen nun die Korrekturen erster und zweiter Ordnung der Energie, die die Störungstheorie liefert.
    Beachten Sie, dass der Ausdruck in der Summe klein sein muss, damit diese Formel gilt. Und überlegen Sie sich, was mit dem Erweiterungsterm passiert, wenn die Energieniveaus entartet sind:

    In diesem Fall erhält man am Ende ein, das gleichist, was bedeutet, dass die Gleichung für die Energiekorrektur komplizierter wird und diese Näherung nicht mehr gilt. Das wiederum bedeutet, dass Sie eine andere Näherung der Störungstheorie benötigen, um mit Systemen mit entarteten Energiezuständen umgehen zu können (das folgt in dem Abschnitt »Störungen und entartete Hamilton-Operatoren«).
    Im nächsten Abschnitt folgt ein Beispiel, um den Umgang mit gestörten nicht entarteten Hamilton-Operatoren zu veranschaulichen.

Die Störungstheorie im Test: Harmonische Oszillatoren in elektrischen Feldern
    Betrachten Sie den Fall, dass sich ein kleines Teilchen in einem harmonischen Potential hin und her bewegt, wie in Abbildung 12.1 dargestellt.
     
    Abbildung 12.1 : Ein harmonischer Oszillator
    Wenn die Masse des Teilchens m ist, sein Ort x und die Kreisfrequenz der Bewegung ω, lautet der Hamilton-Operator für dieses Teilchen:

    Nun stellen Sie sich vor, dass das Teilchen mit der Ladung q geladen ist und Sie ein schwaches elektrisches Feld ε anlegen, wie in Abbildung 12.2 gezeigt.
     
    Abbildung 12.2 : Ein harmonischer Oszillator in einem elektrischen Feld
    Die vom elektrischen Feld verursachte Kraft ist in diesem Fall die Störung, und somit lautet der Hamilton-Operator:

    In den folgenden Abschnitten werden die Energie und die Wellenfunktionen des gestörten Systems berechnet und mit den exakten Lösungen verglichen.

Exakte Lösungen berechnen
    Wie lauten also die Energieeigenwerte des obigen Hamilton-Operators für den harmonischen Oszillator in einem elektrischen Feld? Berechnen Sie zunächst die exakten Eigenwerte, und wenden Sie anschließend die Störungstheorie an. Sie können die genauen Energieeigenwerte berechnen, indem Sie eine der beiden folgenden Substitutionen vornehmen:

    Setzt man die Gleichung für x inein, so erhält man
    Der letzte Ausdruck ist eine Konstante, die Gleichung hat