Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

somit folgende Form:

    Dabei ist.ist nur der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators mit einer zusätzlichen Konstante, was bedeutet, dass die Energieniveaus einfach zu bestimmen sind:

    Ersetzt man C wieder, erhält man die exakten Energieniveaus:

    Großartig, das ist die exakte Lösung.

Störungstheorie anwenden
    Wenn Sie die exakten Eigenwerte des geladenen Oszillators kennen (siehe vorangehender Abschnitt), können Sie diese mit den anhand der Störungstheorie gewonnen Lösungen vergleichen. Zunächst werden wir die Energie und die Wellenfunktionen des gestörten Systems bestimmen.
Energie des geladenen Oszillators
    Was ist mit der Energie des geladenen Oszillators, wenn sie mithilfe der Störungstheorie bestimmt wird? Sie wissen, dass die korrigierte Energie durch folgende Gleichung gegeben ist:

    wobei λW der Störterm im Hamilton-Operator ist. In diesem Fall ist λW = qεx. Nun betrachten Sie die Gleichung für die korrigierte Energie und ersetzen λW durch qεx. Die Korrektur erster Ordnung ist. Wenn man λW = qεx einsetzt, erhält man folgenden Ausdruck:

    φ n |x|φ n ist aber gleich null, da es der Erwartungswert von x ist. Da ein harmonischer Oszillator sich genauso lange im negativen wie im positiven x-Bereich bewegt, ist der zu erwartende Wert von x null. Damit ist die Korrektur erster Ordnung der Energie, wie sie aus der Störungstheorie folgt, gleich null.
    Wie lautet dann die Korrektur zweiter Ordnung der Energie, wie sie aus der Störungstheorie folgt? Die Antwort ist:

    Da λW = qεx ist, folgt:

    Drückt man dies durch Bra- und Ket-Vektoren aus (siehe Kapitel 4), so wird <φ m | durch durch |n> ersetzt. Damit ergibt sich für die Korrektur zweiter Ordnung der Energie der folgende Ausdruck:

    Sie können diesen Ausdruck Schritt für Schritt entschlüsseln. Zunächst gilt für die Energie:

    Das macht die Sache ein wenig einfacher.
    Für den harmonischen Oszillator gelten darüber hinaus folgende Gleichungen:

    Mit diesen vier Gleichungen sind Sie gut gerüstet und können nun den Ausdruck, die Korrektur zweiter Ordnung der Energie, in Angriff nehmen. Vernachlässigt man Terme höherer Ordnung, folgt für die Summe:

    Anschließend ersetzt manundin dieser Summe:

    Danach ersetzt mann + 1|x|nundn – 1|x|nund erhält folgenden Ausdruck:

    Das bedeutet folgendes:

    Somit lautet die Korrektur zweiter Ordnung:

    Deshalb sollte der Störungstheorie zufolge die Energie des harmonischen Oszillators in einem elektrischen Feld folgendermaßen lauten:

    Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der weiter oben erhaltenen Gleichung für die exakten Energieniveaus– das Ergebnis ist dasselbe! Mit anderen Worten, die Störungstheorie hat dasselbe Ergebnis geliefert wie die exakte Lösung. Das ist eine tolle Übereinstimmung!
    Natürlich können Sie nicht erwarten, dass die Lösungen immer übereinstimmen, wenn Sie die Störungstheorie benutzen, aber dieses Ergebnis ist schon eindrucksvoll.
Wellenfunktionen des geladenen Oszillators
    Nun berechnen Sie die Wellenfunktionen des geladenen Oszillators in Anwesenheit des elektrischen Feldes. Die Gleichung für die Korrektur erster Ordnung der Wellenfunktion lautet:

    Verwendet man wieder die Bra- und Ket-Vektorenm| und |n, so lautet die Gleichung:

    DaW = qεx ist, folgt:

    Genauso wie bei der Energie tragen nur zwei Ausdrücke zur Summe bei, dan|x|n= 0 ist. Diese beiden Ausdrücke sind:

    Beachten Sie, dass außerdemundgilt.
    Aus diesen vier Gleichungen folgt für:

    Bedenken Sie, was diese Gleichung bedeutet: Legt man ein elektrisches Feld an einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator an, so verbreitert sich die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators.
    Genauer: Ursprünglich ist die Wellenfunktion des Oszillators nur die Standardwellenfunktion des harmonischen Oszillators |ψ n = |n. Legt man ein elektrisches Feld an, verbreitert sich die Wellenfunktion; eine Komponente von |n – 1kommt hinzu, die proportional zum elektrischen Feld ε und der Ladung q des Oszillators ist:

    Außerdem verbreitert sich die Wellenfunktion auch zum anderen benachbarten Zustand |n + 1:

    Man vermischt also Zustände. Diese Vermischung von Zuständen erfordert, dass die angelegte Störung klein sein muss im Vergleich zum Abstand der ungestörten Zustände. Andernfalls läuft man Gefahr, das gesamte System so weit zu verwischen, dass man keine Vorhersagen mehr treffen kann, was wirklich passiert.
    Auf jeden Fall ist es ein schönes Ergebnis: