Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Vermischen von Zuständen im Verhältnis zur Stärke des angelegten elektrischen Feldes. Und es ist typisch für ein Ergebnis, das man mithilfe der Störungstheorie erhält.
    Das war also die nicht entartete Störungstheorie. Wie Sie sehen, hängt sie streng davon ab, dass die Energiezustände getrennt sind, sodass die Lösung sie mischen kann. Aber was passiert, wenn man ein System hat, bei dem die Energien entartet sind? Das wird im nächsten Abschnitt behandelt.

Störungstheorie für entartete Hamilton-Operatoren
    Dieser Abschnitt behandelt Systeme, in denen die Energien entartet sind. Betrachten Sie zunächst diesen ungestörten Hamilton-Operator:

    Mit anderen Worten, verschiedene Zustände haben dieselbe Energie. Angenommen, die Energiezustände sind f-fach entartet:

    Was bedeutet das im Bild der Störungstheorie? Der vollständige Hamilton-Operator H besteht aus dem ursprünglichen, ungestörten Hamilton-Operator H 0 und dem Störterm H s :

    In der Näherung nullter Ordnung kann man die Eigenfunktion |ψ n als eine Kombination der entarteten Zuständeausdrücken:

    Beachten Sie, dass im Folgenden angenommen wird, dassφ n |φ n = 1 undφ m |φ n = 0 gilt, wenn m ungleich n ist. Außerdem wird angenommen, dass |ψ n normalisiert ist; das bedeutetψ n |ψ n = 1.
    Setzt man die Gleichung für die Näherung nullter Ordnung in den vollständigen Hamilton-Operator ein, so erhält man folgenden Ausdruck:

    Multipliziert man diese Gleichung mit, so erhält man:

    Benutzt manφ n |φ n = 1 undφ m |φ n = 0, wenn m ungleich n ist, so erhält man folgende Gleichung:

    Viele Physiker schreiben diese Gleichung auch in der folgenden Form:

    Dabei ist. Man kann die Gleichung auch so schreiben:

    Dabei ist. Das ist ein System von linearen Gleichungen; eine Lösung existiert nur, wenn die Determinante der folgenden Matrix nicht verschwindet:

    Die Determinante dieser Matrix ist eine Gleichung f-ten Grades in, und sie hat f verschiedene Wurzeln. Diese f Wurzeln sind die Korrekturen erster Ordnung zum Hamilton-Operator. In der Regel unterscheiden sich diese Wurzeln aufgrund der wirkenden Störung. Mit anderen Worten, die Störung hebt typischerweise die Entartung auf.
    Die Bestimmung der Eigenwerte zur ersten Ordnung geht folgendermaßen: Sie erstellen eine f × f-Matrix des Störterms des Hamilton-Operators H s , wobeiist:

    Dann diagonalisieren Sie die Matrix und bestimmen die f Eigenwerteund die entsprechenden Eigenvektoren:

    Dann erhalten Sie die Energieeigenwerte zur ersten Ordnung wie folgt:

    Und die Eigenvektoren lauten:

    Im nächsten Abschnitt folgt ein Beispiel, das diesen Gedanken verdeutlichen wird.

Test der entarteten Störungstheorie: Wasserstoff in elektrischen Feldern
    In diesem Abschnitt werden Sie erfahren, ob die Störungstheorie mit dem Wasserstoffatom umgehen kann, dessen Energiezustände in verschiedenen Drehimpulsquantenzahlen entartet sind, wenn Sie die Entartung durch Anlegen eines elektrischen Feldes aufheben.
    Stellen Sie sich vor, Sie legen ein elektrisches Feld ε an ein Wasserstoffatom an, das sich im zweiten angeregten Zustand befindet (n = 2). Dieser Zustand hat vier Eigenfunktionen, die dieselbe Energie besitzen, und deren Quantenzahlen |nlmlauten (diese Eigenfunktionen werden in |1, |2usw. umbenannt, damit die Rechnung einfacher wird):
    |1> = |200
    |2> = |211
    |3> = |210
    |4> = |21 – 1
    Diese ungestörten Zustände besitzen alle dieselbe Energie E = –R/4, wobei R die Rydberg-Konstante ist (13,6 eV). Doch wenn Sie ein elektrisches Feld anlegen werden einige dieser Zustände ihre Energie verändern.
    Wie sieht der durch das elektrische Feld ε verursachte Störterm des Hamilton-Operators aus? Er lautet:

    Sie müssen also diese Gleichung für die verschiedenen Zustände auswerten. Was ergibt zum Beispiel der folgende Ausdruck, wenn1| =200| und |3= |210ist?

    Sie haben die Wellenfunktionen für das ungestörte Wasserstoffatom bereits in Kapitel 9 berechnet. Allgemein lautet die Lösung für die Wellenfunktion ψ nlm (r, θ, φ) für Wasserstoff:

    Dabei sinddie zugeordneten Laguerre-Polynome. Führt man die Mathematik aus, so erhält man das folgende Ergebnis, wobei a 0 der Bohr'sche Radius des Atoms ist:

    1|H s |3ist natürlich nur einer der Terme, die Sie berechnen müssen. Die vollständige Matrix für den Störterm des Hamiltonoperators, die alle Zustände berücksichtigt, lautet:

    wobeigilt.
    Wenn man die Mathematik ausführt, erhält man folgendes bemerkenswert einfache