Warum Mathematik glücklich macht: 151 verblüffende Geschichten (German Edition)

Geburtstag der zweiten Person, unter der Vorgabe, dass keine Kollision auftritt. Das macht 365 · 364 Möglichkeiten für die Geburtstage der ersten beiden Personen. Sind ihre Geburtstage kollisionsfrei gewählt, verbleiben 363 Möglichkeiten für Person 3 usw. bis hin zu 365 – n + 1 Möglichkeiten für Person n. Was ist also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis allesamt verschiedener Geburtstage bei n zufällig ausgewählten Personen? Nach dem Gesagten muss die Antwort darauf in folgender Richtung gesucht werden: Es ist der Quotient der Zahl der günstigen Kombinationen für dieses Ereignis und der Zahl aller möglichen Kombinationen von n Geburtstagen. Explizit ist das
    q n = 365 · 364 · … · (365 – n + 1)/365 n .
    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des uns interessierenden Ereignisses, dass mindestens ein Geburtstag doppelt auftritt, ist dann p n = 1 – q n . Diese Wahrscheinlichkeiten p n wachsen recht schnell mit n an und streben gegen 1. Einige Werte sind in der folgenden Tabelle festgehalten:

 
    n 
 
    10 
 
    20 
 
    23 
 
    30 
 
    40 
 
    50 
 
    60 
 
    p  n
 
    0,12 
 
    0,41 
 
    0,51 
 
    0,71 
 
    0,89 
 
    0,97 
 
    0,99 
    Ab 60 Personen schon kann man also so gut wie sicher sein, doppelte Geburtstage zu erhalten. Ab 23 Personen sind doppelte Geburtstage erstmals wahrscheinlicher als keine. Warum liegt bei diesem Problem die Intuition so weit daneben? Offenbar wird die Fragestellung mit einer anderen verwechselt: Das Augenmerk wird auf eine Person P gelegt. Wie viele Personen P 1 , …, P m muss man dann rein zufällig auswählen, um sicherzustellen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 mindestens eine dieser Personen P i an demselben Tag Geburtstag hat wie Person P?
    Eine einzelne Person hat nicht denselben Geburtstag wie P mit Wahrscheinlichkeit 364/365. Alle m Personen haben nicht denselben Geburtstag wie P mit Wahrscheinlichkeit (364/365) m . Mindestens eine der m Personen hat denselben Geburtstag wie P mit der Wahrscheinlichkeit 1 – (364/365) m . Ab m = 253 ist dieser Wert größer als ½. Wenn außer P noch 253 weitere Personen anwesend sind, dann gibt es 253 paarweise Vergleichsmöglichkeiten: P mit P 1 , P mit P 2 , …, P mit P 253 . Genauso viele paarweise Vergleichsmöglichkeiten gibt es bei 23 Personen untereinander, nämlich 23 · 22/2 = 253. Das sind also auch hier 253 Gelegenheiten für gleiche Geburtstage. Dies ist eine intuitive Erklärung des Geburtstagsparadoxons.
    In meinen Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie ergänze ich diese theoretischen Erklärungen bisweilen durch eine praktische Simulation. In der ersten Hörsaalreihe beginnend, sammeln wir nacheinander die Geburtstage der Anwesenden so lange, bis der erste Geburtstag doppelt auftritt. In der Regel tritt dieses Ereignis, in guter Übereinstimmung mit der Größenordnung der berechneten Lösung, irgendwo zwischen dem 20sten und dem 30sten Zuhörer ein.
    Kognitionswissenschaftler haben festgestellt, dass das menschliche Gehirn große Fähigkeiten im Bereich der Mustererkennung hat. Im Laufe seiner Entwicklung musste es die Kompetenz entwickeln, Symmetrien, Regelmäßigkeiten und andere Formen von Systematik zu identifizieren und zu interpretieren. Muster in einem ganzen Ozean von Regellosigkeit zu erfassen, erleichtert dem menschlichen Gehirn das Verständnis der Welt und die Orientierung in ihr. Es bietet ihm Ansatzpunkte, um durch Intelligenz in der Welt zu bestehen. Vergleichsweise schlecht ist es aber um den intellektuellen Filter des Menschen für das kompetente Handling von Unsicherheit, Zufall und Wahrscheinlichkeiten bestellt. Auf dem Gebiet des Wahrscheinlichen und Unwahrscheinlichen bietet uns die Welt viele Möglichkeiten, uns zu irren. Das hier besprochene Geburtstagsparadoxon ist nur eine davon.
Aus meinem Archiv des nutzlosen Wissens
Der Kader der deutschen Nationalmannschaft für die Fuβballweltmeisterschaft 2006 bestand aus 23 Spielern. Zwei Mitglieder des Kaders, nämlich Christoph Metzelder und Mike Hanke feiern am gleichen Tag Geburtstag: am 5. November.
12. Für mehr Widersprüche im Alltag
    Unter diesem Punkt werden wir einer logischen Kalamität im Straßenverkehr begegnen. Hier sehen Sie eine zwar bildliche, aber nicht vorbildliche Straßenbeschilderung:

    Abbildung 5: Stillleben und Spielleben.
Beschilderung einer Nebenstraβe in Prag
    Bin ich nun eine Spielstraße? Oder bin ich keine Spielstraße? Hat das Verbotene Priorität gegenüber