Das neue Haus vom Nikolaus

angrenzt, dann machen wir alle zusammen nach Weihnachten einen Skiausflug. Ach ja, eure Flächenstücke müssen unser Grundstück vollständig abdeckenund dürfen sich nicht gegenseitig überschneiden.» Ist die Aufgabe immer lösbar, unabhängig von der Anzahl und Lage der Eier, oder ist sie es nicht? Und wie sieht es aus, wenn jedes der fünf Flächenstücke nicht nur ans Meer, sondern auch noch zusätzlich an die Bahnlinie angrenzen muss, ansonsten aber dieselben Bedingungen gelten?
    [Lösung]

50 Weihnachtspoker
    Welches ist wohl das passendste Spiel für Investmentberater? Ganz klar, Poker! Und deshalb verabreden sich Hugo, Lugo und Trugo, drei sehr wohlhabende Vertreter dieser Zunft, zu einem geschlossenen vorweihnachtlichen Pokerturnier in Scheinheiligen. Jeder der drei Teilnehmer legt gleich zu Beginn seine Chips offen vor sich auf den Tisch. Trugo meldet sich zu Wort: «Eine Bemerkung sei mir gestattet. Ich finde es einfach zu kurios. Lugo, du hast genau einen Chip mehr als ich, und Hugo hat genau einen Chip mehr als du.» – «Na wennschon. Viel merkwürdiger finde ich, dass wenn jeder von uns die Anzahl seiner Chips in Primfaktoren zerlegt, dass wir dann alle zusammen auf insgesamt genau drei verschiedene Primfaktoren kommen», erwidert Lugo. «Das darf ja wohl nicht wahr sein. Wenn das beides stimmt, was ihr erzählt, dann hat mindestens einer von euch eine Anzahl von Chips mitgebracht, die eine Potenz darstellt. Ihr wisst doch genau, dass mir ganzzahlige Potenzen beim Spielen Pech bringen, wenn Exponent und Basis größer oder gleich zwei sind. Warum habt ihr darauf keine Rücksicht genommen?», entrüstet sich Hugo. «Also, ich weiß gar nicht, was eine Potenz ist», entschuldigt sich Trugo prophylaktisch. «Das wundert mich auch nicht», meint Hugo. Doch wie kam Hugo, ohne die Chips nachzuzählen, darauf, dass einer der Spieler am Tisch eine Anzahl von Chips haben musste, die eine Potenz einer ganzen Zahl mit einem Exponenten und einer Basis größer als eins sein musste?
    [Lösung]

51 Die verflixte Sieben nochmal

    Im Hause Pobel-Knobel ist man uneinig. Irmgard liebt Weihnachtssterne aus Streichhölzern, ihr Gatte Horst mag Dreiecke. «Ich bastle Weihnachtssterne und rede dir nicht drein, wenn du stattdessen lieber Weihnachtsdreiecke basteln willst. Hier hast du sechs Streichhölzer, damit kannst du machen, was du willst, meinetwegen auch sieben Dreiecke legen.» Irritiert durch Irmgards heftige Reaktion zieht sich Horst in sein Arbeitszimmer zurück, wo er aus sechs Streichhölzern sieben Dreiecke legt, ohne dabei eines der Streichhölzer zu beschädigen. Könnten Sie das auch?
    Zu der Zählweise der Dreiecke noch eine wichtige Information: Es gibt immer wieder Aufgaben, bei denen Sie sämtliche Dreiecke zählen sollen, die Sie sehen. Bei diesen Aufgaben ist meistens ein Trick mit im Spiel, und mehrere kleine Dreiecke bilden dabei zusammen ein größeres Dreieck, welches dann ebenfalls mitzuzählen ist. Eine solche Zählweise ist bei dieser Aufgabe hier ausgeschlossen. Also selbst wenn mehrere kleine Dreiecke zusammen ein größeres Dreieck bilden sollten, darf dieses größere Dreieck nicht noch einmal extra gezählt werden. Das heißt, zwei Dreiecke können nur dann tatsächlich als zwei Dreiecke gezählt werden, wenn ihre Flächen disjunkt sind und sie also keine gemeinsame Fläche besitzen.
    [Lösung]

52 Professorendämmerung

    An der Fakultät für Mathematik veranstalten zehn Universitätsprofessoren eine kleine Weihnachtsfeier im geschlossenen Kreis. Ein Assistent, der für die Vorbereitungen zuständig ist, hat sich extra einige anspruchsvolle Überraschungen ausgedacht. Dazu zählt ein kleines Spiel, welches die Fähigkeit der Professoren, logisch zu denken, ganz schön strapazieren wird. Der Assistent hat für die Professoren kleine Hütchen mit positiven ganzen Zahlen auf der Stirnseite angefertigt. Jeder Professor bekommt eines dieser Hütchen aufgesetzt und kann die Zahl auf seinem Hut natürlich nicht sehen, auch nicht im Spiegel, und er darf auch niemanden danach fragen. Es gibt keine direkte Möglichkeit herauszufinden, welche Zahl sich auf dem eigenen Hut befindet. Es ist lediglich erlaubt, zu schauen, welche Zahlen sich auf den Hüten der Kollegen befinden. Nachdem jeder Professor seinen Hut bekommen hat, beginnt der Assistent, die Spielregeln zu erklären: «Jeder von Ihnen trägt jetzt einen Hut mit einer positiven ganzen Zahl auf der Stirnseite. Sie dürfen während des Spiels