Das neue Haus vom Nikolaus

Kalle zog 379   829   878 an Land.
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29 Im Aquarium geht’s rund
    Es ist kein Wunder, wenn Sie die Lösung nachschlagen möchten, denn die Aufgabe ist recht trickreich. Dennoch handelt es sich um eine der schönsten Aufgaben in diesem Buch, und man sollte sich den Genuss, die Lösung selbst zu finden, nicht entgehen lassen. Nun denn! Wir kennen die Höhe und das maximale Fassungsvermögen des Aquariums, und damit kennen wir auch seine Querschnittsfläche = 150   000   cm 3   / 50   cm = 3000   cm 2 , was so viel heißt, dass wir drei Liter benötigen, um den Wasserspiegel um 1   cm anzuheben. Das Einzige, was uns fehlt, um die Aufgabe zu lösen, ist das Gesamtvolumen der Kugeln des Unterwassermobiles. Natürlich können wir aus den Gleichgewichtsbedingungen der beiden Mobiles Gleichungen aufstellen, deren Lösungen uns das Gewicht jeder einzelnen Kugel angeben. Doch handelt es sich bei diesen Lösungen um nackte Zahlen ohne Maßeinheiten. Wenn also zum Beispiel herauskommen sollte, dass die horizontal gestreifte Kugel 3 und die dunkle 5 wiegt, dann kennen wir noch immer nicht die Einheit. Sind das drei Gramm, drei Tonnen oder 3   Pfund? Und das ist ja eigentlich auch logisch, denn wenn diese Mobiles sich im Gleichgewicht befinden, dann tun sie das auch, wenn wir jede einzelne Kugel um denselben Faktor schwerer machen. Damit wir am Ende doch die tatsächlichen Massen der einzelnen Kugeln bestimmen können, wurde angegeben, dass die horizontal gestreifte Kugel 10   Gramm schwer ist. Das ist unser Ausgangspunkt. Wir kennen das Gewicht der horizontal gestreiften Kugel und können mit diesem Gewicht und dem Gewichtsverhältnis zu den anderen Kugeln, sobald wir das ausgerechnet haben, das Gewicht jeder einzelnen Kugel bestimmen. Das einzige verbleibende Problem ist, dass uns das Gewicht der einzelnen Kugeln absolut nichtinteressiert; wir brauchen stattdessen die Volumina der Kugeln. Erst wenn wir auch die Dichten der Kugeln kennen würden, könnten wir aus ihren Massen auch ihre Volumina berechnen. Nun ist glücklicherweise bei Körpern gleichen Volumens, wie etwa bei unseren Kugeln, die Dichte proportional zur Masse. Wir können ausgehend von den Mobiles deshalb auch Gleichungen für die Dichten anstatt für die Massen der Kugeln aufstellen. Das sieht zwar auf den ersten Blick so aus, als hätten wir damit nichts gewonnen, weil wir ja beides benötigen, Dichte und Masse, um das Volumen bestimmen zu können, aber die Masse einer blauen Kugel kennen wir ja bereits, sodass wir mit diesem Ansatz zu einer Lösung kommen sollten. Nun verhalten sich Mobiles unter Wasser anders als an der Luft, was an dem Auftrieb liegt, den die einzelnen Kugeln erfahren. Dies müssen wir mit berücksichtigen. Da jede Kugel den Auftrieb erfährt, der dem Gewicht des von ihr verdrängten Wassers entspricht, welches eine Dichte von 1 hat, können wir für die Gleichgewichtsbedingungen des Unterwassermobiles so tun, als hätten die Kugeln dort eine um 1 (g/​cm 3 ) verminderte Dichte. Bezeichnen wir die Dichte der vertikal gestreiften Kugeln mit A, die der hellen Kugeln mit B, die der horizontal gestreiften Kugeln mit C und die der dunklen Kugeln mit D, dann erhalten wir für das «Luft mobile » folgende Gleichungen:
     
    B + C – D = 0 (1) und
    2A – B – D = 0 (2)
     
    Für das Unterwasser-Mobile erhalten wir:
     
    3 × (A – 1) = 4 × (B – 1) und
    3 × (A – 1) + 4 × (B – 1) = 4 × (C – 1) + 4 × (D – 1)
     
    Ein wenig umgestellt, ergibt dies:
     
    3A – 4B = –1 (3) und
    3A + 4B – 4C – 4D = – 1 (4)
    8B – 4C – 4D = 0 wegen (4) – (3) was äquivalent ist, zu
    2B – C – D = 0 (5)
     
    Ferner erhalten wir:
     
    5B – 3D = 2 (6) aus 3 × (2) – 2 × (3)
     
    Außerdem gilt:
     
    –3C + D = 0 (7) , wegen (5) – 2 × (1) und auch
    –5C + 2D = 2 (8) , wegen (6) – 5 × (1)
     
    Schließlich bekommen wir:
     
    C = 2, wegen (8) – 2 × (7)
     
    Dann ist sukzessive D = 6, wegen (7) , B = 4 wegen (5) und A = 5 wegen (3) .
     
    C, die Dichte der horizontal gestreiften Kugel, beträgt also 2, und zwar nicht 2 irgendetwas, sondern 2   Gramm/​cm 3 und nicht etwa 2   Unzen pro Liter. Das können wir deshalb sagen, weil wir genau bezüglich dieser Maßeinheit (g/​cm 3 ) jeweils eins von den Dichten des Unterwassermobiles subtrahiert haben. Hätten wir die Dichte nicht in g/​cm 3 gerechnet, so hätten wir statt eins eine andere Zahl für die Dichten der Kugeln unter