Das neue Haus vom Nikolaus

sich c und i jeweils unmittelbar ergeben würden. Dann müssten wir lediglich noch die 4 verbleibenden Werte für d, e, g und h bestimmen. Da uns dafür 4   Gleichungen zur Verfügung stehen, sieht diese Aufgabe grundsätzlich lösbar aus. Diese 4   Gleichungen lauten, wenn wir die Werte, die wir nicht mehr suchen, weil wir sie vorgegeben haben oder sie durch diese vorgegebenen Werte vollständig bestimmt sind, nach rechts bringen:
     
    d – e = –b (1)
d – g = –f (2)
e + h = i (3)
g + h = c (4)
     
    Dies ist ein recht überschaubares Gleichungssystem. Sehen wir, was wir damit anfangen können.
    Wenn wir (1) von (2) subtrahieren erhalten wir:
     
    e – g = b – f (2')
     
    Wenn wir auch noch (2') von (3) abziehen, bekommen wir:
     
    g + h = i + f – b (3')
     
    Daraus folgt aber mit (4) :
     
    b + c = i + f (5)
     
    also i = b + c – f
     
    Setzen wir diesen Wert für i ein in (*), gibt das:
     
    a × f = b + c – f , und ersetzen wir c noch gemäß (**), haben wir:
    a × f = b + a × b – f oder
    a × f – a × b = b – f bzw.
    a × (f – b) = b – f
     
    Das kann nur bedeuten, dass a = –1
    oder dass b – f = 0 also b = f. (6)
     
    a = –1 ergibt aber keinen Sinn, denn negative Euros wird Ede wohl kaum erbeutet haben. Folglich ist b = f . Zusammen mit (5) folgt aber, dass dann auch
     
    i = c (7)
     
    gilt.
    Mit (***) und (6) ergibt sich b + d = g, und daraus folgt weiter, dass auch
     
    e = g (8)
     
    Die ursprünglichen neun Unbekannten reduzieren sich nach (6) , (7) und (8) somit auf sechs Unbekannte und ergeben folgendes Rechenschema:

    Wir könnten nun beispielsweise a, b und d frei wählen und daraus sehr leicht die übrigen Werte ableiten, zumindest wenn da nicht noch die drei weiteren Bedingungen über die Gesamtsumme, über die Summe a + b und die Summe d + h , gegeben wären. Es wäre übrigens keine legitime Schlussfolgerung gewesen, anzunehmen, nur weil das Rechenschema bezüglich der Anordnung seiner Operatoren achsensymmetrisch bezüglich der von links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonalen ist, dass allein schon deswegen die an dieser Achse gespiegelten Werte jeweils auch paarweise gleich sein müssten. In der fettgedruckten Schlussfolgerung wären rechnerisch auch unterschiedliche Werte für b und f möglich. Wenn man für a den negativen Wert –1 akzeptieren würde, wird dies offensichtlich. Nun aber zur zahlenmäßigen Lösung:
     
    Da die Summe a + b gegeben ist, können wir sowohl b als auch c eliminieren (durch a ausdrücken).
    Es ist b = 24   122   010 – a und c = 24   122   010 × a – a 2
     
    Da wir die Gesamtsumme und auch die Summe d + h kennen, können wir ganz leicht e als Ausdruck von a berechnen als:
     
    e = 1 / 2 [Gesamtsumme – a – 2 × b – 2 × c – (d + h) ] =
    1 / 2 [1   314   831   659 – a – 2 × (24   122   010 – a) – 2 × (24   122   010 × a – a 2 ) – 385   951   888] = 1 / 2 (880   635   751 – 48   244   019 × a + 2 × a 2 )
     
    Damit können wir jetzt d und auch h in Abhängigkeit von a bestimmen.
     
    d = e – b = 1 / 2 (832   391   731 – 48   244   017 × a + 2 × a 2 )
    h = c – e = 24   122   010 × a – a 2 – 1 / 2 (880   635   751 – 48   244   019 × a + 2 × a 2 ) = 1 / 2 (–880   635   751 + 96   488   039 × a – 4 × a 2 )
     
    Die Summe h + d kennen wir aber und können damit a bestimmen:
     
    385   951   888 = 1 / 2 (–48   244   020 + 48   244   022 × a – 2 × a 2 ) oder
    a 2 – 24   122   011 × a + 410   073   898 = 0
     
    Diese quadratische Gleichung besitzt allerdings zwei positive ganzzahlige Lösungen:
     
    a = 12   061   005,5 ± √ 145   467   853   671   030,25   –   410   073   898
    = 12   061   005,5 ± 12   060   988,5 = 17 oder 24   121   994
     
    Da wir alle Größen in Abhängigkeit von lediglich a angegeben haben, können wir diese nun durch Einsetzen von a gewinnen. Wir haben aber zwei mögliche Werte für a erhalten. Es stellt sich heraus, dass wir nur mit a = 17 eine passende Gesamtlösung erhalten. Und wir erhalten nacheinander:
    b = 24   121   993
    c = 410   073   881
    e = 30   244   003
    d = 6   122   010
    h = 379   829   878
     
    Somit hat Ede lediglich 17   Euro erbeutet. Joe und Bob haben jeweils 24   121   993   Euro angeschleppt, Toni und Bud brachten es auf jeweils 410   073   881   Euro , Jim und Bill erbeuteten jeweils 30   244   003, Tom kam auf 6   122   010   Euro , und