Das neue Haus vom Nikolaus

Wasser subtrahieren müssen. Die blaue Kugel mit der Masse 10   Gramm hat also ein Volumen von 5   cm 3 . Da alle Kugeln das gleiche Volumen haben und das Unterwasser-Mobile aus 15   Kugeln besteht, verdrängt es 75   cm 3 Wasser. Damit steigt das Wasser im Aquarium um 0,25   mm .
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30 Dreisatz und dreißig Aufsätze
    Diese Aufgabe kann natürlich nur dann sinnvoll gelöst werden, wenn man annimmt, dass alle Lehrer jeweils gleich schnell korrigieren, also dieselbe Seitenzahl pro Stunde schaffen.
     
    Wenn x die Anzahl der Schüler der Klasse ist, dann haben die 7   Lehrer zusammen 30 × x Seiten zu korrigieren, das macht pro Lehrer ein Arbeitspensum von 30 × x / 7 Seiten. Die 5   Lehrer haben zusammen 18 × x Seiten zu korrigieren und ein Pensum von 18 × x / 5 Seiten pro Lehrer zu bewältigen. Im Schnitt müssen die 7   Lehrer also deutlich mehr korrigieren als die 5   Lehrer. Wie kann es dann sein, dass trotzdem beide Male genau die gleiche Zeit benötigt wird?
    Der springende Punkt ist, dass man die Korrektur eines einzelnen Aufsatzes nicht auf mehrere Lehrer verteilen kann, denn ein Aufsatz wäre nicht mehr sinnvoll bewertbar, wenn ein Lehrer nur den Anfang und ein anderer nur den Schluss lesen würde. Bei einer Mathematikarbeit mag das anders sein. Am Anfang gibt es genügend Aufsätze zu korrigieren, sodass alle Lehrer simultan mit der Korrektur beschäftigt sind, doch irgendwann ist der Großteil der Aufsätze korrigiert, und es bleiben nur noch einige wenige, ggf. deutlich weniger als die Zahl der Lehrer übrig. Weil man aber einen einzelnen Aufsatz nicht unter mehreren Lehrern aufteilen kann, können im ungünstigsten Fall viele Lehrer mit Abwarten beschäftigt sein, bis einige wenige Lehrer die letzten Aufsätze korrigiert haben. Für sieben Lehrer ist es z.   B. gleich, ob sie 15 oder 20   Aufsätze korrigieren müssen. In jedem Falle bräuchten sie zusammen die Zeit, die einer von ihnen für drei Aufsätze benötigte. Nur würden im einen Falle im letzten Zeitdrittel fast alle LehrerDäumchen drehen, und im andern Falle wären fast alle Lehrer bis zum Schluss mit Korrekturen ausgelastet. Auf diese Weise wird verständlich, wieso trotz eines unterschiedlichen durchschnittlichen Arbeitspensums die gleiche Gesamtzeit benötigt werden kann.
     
    Nun verhalten sich die 18   Seiten des einen Aufsatzes zu den 30   Seiten des anderen wie 3 zu 5, und da der Seitenumfang auch proportional zum Zeitaufwand der Korrektur angenommen wird, verhalten sich so auch die Zeiten für die Korrektur einer einzelnen Arbeit. Doch die Lehrer korrigieren ja nicht eine Arbeit nach der anderen, sondern, soweit möglich, korrigieren immer alle Lehrer simultan jeweils eine Arbeit. Damit beide Lehrergruppen bei dem Zeitverhältnis von 3 zu 5 für jeweils einen Korrekturdurchgang auf die gleiche Gesamtzeit kommen, muss sich die Zahl der Durchgänge umgekehrt im Verhältnis 5 zu 3 befinden. Damit 5   Lehrer 5   Korrekturdurchgänge benötigen, muss die Zahl der Aufsätze zwischen 21 und 25 betragen. Damit die 7   Lehrer 3   Korrekturdurchgänge benötigen, muss die Zahl der Aufsätze zwischen 15 und 21 betragen. Das würde nur die Zahl von 21   Aufsätzen und damit eine Klassengröße von 21   Schülern zulassen. Diese Lösung ist zwar zahlenmäßig richtig, aber noch nicht ganz korrekt, weil wir noch etwas übersehen haben. Wir haben erkannt, dass die Zahl der Korrekturdurchgänge im Verhältnis 5 zu 3 stehen muss, aber das heißt ja nicht automatisch, dass es sich dann um 5 und 3   Durchgänge handeln muss, es könnte sich ja auch um 10 und 6, um 15 und 9 usw. Durchgänge handeln. Für k > 1 bedeuten aber 3k Korrekturdurchgänge bei 7   Lehrern: maximal 7 × 3k Aufsätze können korrigiert werden, und für 5k Korrekturdurchgänge von 5   Lehrern gilt, dass minimal 5 × 5k – 4 Aufsätze korrigiert werden. Damit eine Zahl von Aufsätzen existiert, sodass diese Limits eingehalten werden,muss 7 × 3k ≥ 5 × 5k – 4 gelten oder 4 ≥ 4k , also k ≤ 1 . Somit kommt tatsächlich nur eine Schülerzahl von 21 als einzig mögliche Klassengröße in Betracht.
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31 Das neue Haus vom Nikolaus
    Bei diesem Rätsel kommt es wie bei dem altbekannten Haus vom Nikolaus auch darauf an, an der richtigen Stelle zu beginnen und aufzuhören. Besser gesagt, gibt es genau zwei Stellen, an denen Sie beginnen oder aufhören können. Wenn Sie es von