Das neue Haus vom Nikolaus

kann. Unabhängig davon gilt für ein beliebig ausgewähltes Element unter den dann noch verbliebenen vier Elementen, dass es aus drei verbleibenden Partnern einen auswählen kann. Für die dann noch verbleibenden zwei Elemente besteht keine Auswahlmöglichkeit mehr. Es gibt also 5 × 3 = 15 mögliche Paarbildungen, und der Weihnachtsmann hat 15   Möglichkeiten, die Karten in die falschen Umschläge einzusortieren. Jetzt betrachten wir eine dieser 15   Möglichkeiten, die Karten mit den Umschlägen paarweise zu vertauschen, und untersuchen, wie viele Möglichkeiten es für diese eine Möglichkeit gibt, die Umschläge im Anschluss in die falschen Stiefel zu stecken. Da keine der 15   Möglichkeiten vor irgendeiner anderen in irgendeiner Weise ausgezeichnet ist, erhalten wir das Endergebnis dann dadurch, dass wir das Resultat für diese Vertauschung mit 15 multiplizieren. Wir vertauschen jeweils Umschläge und Karten 1 mit 2, 3 mit 4 sowie 5 mit 6.   Wir können diese Vertauschungen, die man auch Permutationen nennt, auch in kompakter Form folgendermaßen notieren:
     
    2 1 4 3 6 5
     
    Dabei stelle die Position den Umschlag dar, und die Zahl, die an einer Position steht, soll die dazugehörige Karte darstellen. Dass an der 3.   Position die Zahl 4 steht, bedeute demnach, dass sich die 4.   Karte im 3.   Umschlag befindet. Übrigens vertauscht nicht jede Permutation immer paarweise. Eine Permutation kannauch beliebig vertauschen oder einzelne Elemente dort belassen, wo sie waren. Wenn wir aber eine solche Permutation haben, die immer zwei Elemente paarweise vertauscht, dann sehen wir dies daran, dass immer wenn Element i an Position j steht, dass dann auch Element j an Position i steht und i von j dabei verschieden sein muss.
    Solche gerade erwähnten beliebigen Permutationen kommen jetzt gleich ins Spiel, denn Umschläge und zugehörige Stiefel werden nicht zwangsläufig paarweise, sondern beliebig vertauscht, natürlich unter der Einhaltung der Bedingung, dass sich in einem Stiefel weder die richtige Karte noch der richtige Umschlag befinden soll. Wir müssen also überlegen, was für Permutationen zu der Paarvertauschungspermutation 2 1 4 3 6 5 passen, sodass die Bedingungen erfüllt sind. Wenn wir eine Permutation derart konstruieren, dass die Position den Stiefel und die Zahl an einer Position den Umschlag in diesem Stiefel bezeichnen, dann überlegen wir, wie diese Permutationen aussehen müssen, damit sie zusammen mit 2 1 4 3 6 5 die Bedingungen erfüllen.
    Schreiben wir einmal beide Permutationen untereinander:
2
1
4
3
6
5
a
b
c
d
e
f
    Etwa die 3.   Karte befindet sich im 4.   Umschlag, deshalb kann der 4.   Umschlag weder in den 3. noch in den 4.   Stiefel gesteckt werden. Die 4.   Karte befindet sich aber im 3.   Umschlag und kann deswegen ebenfalls weder in den 3. noch in den 4.   Stiefel gesteckt werden. Alle anderen der insgesamt sechs Karten-Umschlagkombinationen sind jedoch für den 3. und 4.   Stiefel erlaubt. Dieselben Überlegungen gelten analog für die Karten-Umschlagspaare 1 und 2 sowie für 5 und 6.   Anders ausgedrückt, wenn wir eine konkrete Permutation unter unsere Paarvertauschungspermutation schreiben, dann dürfen sich 1 und 2 weder unter der 1noch unter der 2 befinden, 3 und 4 dürfen sich weder unter der 3 noch unter der 4 befinden, 5 und 6 dürfen sich weder unter der 5 noch unter der 6 befinden, dann sind alle unsere Bedingungen erfüllt.
    Von all diesen erlaubten Permutationen schauen wir uns jetzt nur jene an, bei denen an erster Stelle eine Drei steht. Dies sind insgesamt 20   Stück, die man ohne allzu viel Aufwand hinschreiben kann:
21 43 65
21 43 65
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34 56 12
35 62 14
34 56 21
35 62 41
34 65 12
36 15 24
34 65 21
36 15 42
35 16 24
36 51 24
35 16 42
36 51 42
35 61 24
36 25 14
35 61 42
36 25 41
35 26 14
36 52 14
35 26 41
36 52 41
    Die Drei ist aber in keiner Weise gegenüber der Vier, Fünf oder Sechs ausgezeichnet. Es gibt also ebenfalls jeweils 20 passende Permutationen, die mit 4, 5 oder 6 beginnen. Somit haben wir 80   Permutationen, die zur Paarvertauschungspermutation 2 1 4 3 6 5 passen. Und da wir 15 unterschiedliche Paarvertauschungspermutationen haben, kann der Nikolaus die sechs Stiefel im Kloster des Chaos auf insgesamt 15 × 80 = 1200 verschiedene Arten und Weisen füllen.
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38 Alles außer Weihnachtsmannes Helfer
    Hier müssen Sie zunächst einmal dahinterkommen, dass der eingetragene Begriff das Wort