Das neue Haus vom Nikolaus

bewältigen. Das Hauptproblem besteht darin, systematisch alle Zahlen zu erfassen, die mit demselben Buchstaben beginnen,mit dem sie auch aufhören. Die Betonung liegt dabei auf systematisch. Schwierig ist diese Systematik auch deshalb, weil im Deutschen die Zahlen nicht unbedingt in der Reihenfolge der Ziffern gesprochen werden. Es geht also bei dieser Aufgabe auch darum, keine Zahlen zu vergessen. Wer diese Aufgabe richtig lösen konnte, beweist unter anderem und ganz besonders, dass er systematisch vorgehen kann und keine Details übersieht.
    Zahlen können überhaupt nur mit den Buchstaben N, E, Z, D, V, F, S, A beginnen und mit den Buchstaben S, I, R, F, N, T und D für   … tausend, sowie E für eine Milliarde, eine Billiarde usw. enden. Der Buchstabe E braucht uns also gar nicht zu interessieren, weil wir es mit so großen Zahlen gar nicht zu tun haben. Ansonsten interessieren uns nur solche Buchstaben, die sowohl Anfangs- als auch Endbuchstabe sein können, also: D, F, N und S.   Der Buchstabe D kann dabei nur bei Zahlen, die größer oder gleich eintausend sind, als letzter Buchstabe auftreten.
    Passende Zahlenanfänge sind jedenfalls:
     
D rei
(Dreizehn, Dreiundzwanzig,   …, Dreißig, Dreihundert, Dreihunderteins   …)
F ünf
(Fünfzehn, Fünfundzwanzig,   …, Fünfzig, Fünfhundert, Fünfhunderteins   …)
S echs
(Sechzehn, Sechsundzwanzig,   …, Sechzig, Sechshundert, Sechshunderteins   …)
S ieben
(Siebzehn, Siebenundzwanzig   …)
N eun
(Neunzehn   …)
    Passende Zahlenenden sind:
     
    Tausen d
    Fün f , El f , Zwöl f
    Siebe n , Neu n , Zeh n (dreizehn, vierzehn   …)
    Sech s
     
    Die Zahlen unter 1000 können wir leicht aufzählen, denn davon gibt es nicht so viele. Es sind:
     
    5, 6, 9, 19, 505, 511, 512, 601, 606, 701, 706, 909, 910, 913, 914, 915, 916, 917, 918 und 919
     
    5 + 6 + 9 + 19 + 505 + 511 + 512 + 601 + 606 + 701 + 706 = 4181
     
    Die 900er (909, 910, 913, 914,   …, 919) wollen wir jetzt mit demselben Trick addieren, den Gauß benutzte. Im Wesentlichen haben wir hier 9 × 910 stehen, es kommen nur noch ein paar Kleinigkeiten dazu nämlich 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 sowie – 1 für die 909.   Diese Kleinigkeiten machen zusammen 41.   Zuzüglich der 9 × 910 ergibt 41 + 8190 = 8231 , und zusammen mit den Zahlen, die kleiner als 900 sind, erhalten wir: 4181 + 8231 = 12   412.
    Damit ist der «Kleinkram» erledigt. Um auch ohne Taschenrechner ans Ziel zu kommen, überlegen wir uns aber erst einige Vereinfachungen. Dazu notieren wir etwa bequem Folgendes: 74xyzw29, wenn wir beispielsweise alle achtstelligen Zahlen meinen, die mit 74 beginnen und mit 29 enden und dazwischen beliebige 4   Ziffern haben können. Solche Zahlen gäbe es dann genau 10   000   Stück. Und wie würden wir diese 10   000   Zahlen ohne Taschenrechner addieren? Das Prinzip haben wir bereits bei der Addition der 900er vorher gesehen. Jede einzelne der 10   000   Zahlen hat einen unveränderlichen Anteil von 74   000   029, zu welchem dann noch der veränderliche Anteil, nämlich 0 × 100, 1 × 100, 2 × 100 bis 9999 × 100 , hinzukommt. Für den unveränderlichen Anteil brauchen wir lediglich 74   000   029 mit 10   000 zu multiplizieren oder können einfach vier Nullen hinten anhängen: 740   000   290   000.   Wir haben ja 10   000   Zahlen und deshalb auch 10   00 0-mal diesen Grundanteil. Das ist wirklich sehr einfach zu rechnen. Und wie berechnen wir die Summe 0 × 100 + 1 × 100 +   … + 9999 × 100?Wir addieren zuerst alle Zahlen von 1 bis 9999, und das Ergebnis multiplizieren wir anschließend mit 100, indem wir zwei Nullen anhängen. Dazu gehen wir vor wie der kleine Gauß und gruppieren (1 + 9999) + (2 + 9998) + (3 + 9997) + (4 + 9996) +   … + (4999 + 5001) + 5000, was 499 9-mal 10   000 plus 5000 oder 49   995   000 ergibt; mit 100 multipliziert, ergibt sich dann 4   999   500   000.   Wenn wir also alle Zahlen der Form 74xyzw29 addieren, erhalten wir als Ergebnis: 740   000   290   000 + 4   999   500   000 = 744   999   790   000.
     
    Nachdem nun die Methodik klar ist, wollen wir uns an die weitere Lösung der Aufgabe machen. Widmen wir uns nun dem Buchstaben D . Hier kommen nur Zahlen in Betracht, die auf tausend enden, also zwischen drei und fünf Nullen am Ende haben, und die mit drei usw. beginnen. Es handelt sich um 30   000, sowie x3000 (dreitausend, dreizehntausend, dreiundzwanzigtausend,   …, dreiundneunzigtausend) und 3xy000.