Das neue Haus vom Nikolaus

wissen, dass S = 8.
    Aus (2) folgt 8 = G × G × (R + L). G kann also nur 1 oder 2 sein, weil sonst die rechte Seite entweder zu groß oder gleich null würde. Null scheidet für G aus, da durch null nicht dividiert werden kann.
    Wenn G = 1, dann gilt R + L = 8
    Dies in (1) eingesetzt, ergibt 8 + W 1 = 8 + 3R , also W = 3 × R , was im Klartext heißt, dass es dreimal so viele weiße wie rote Kugeln gibt.
    Wenn G = 2 , dann gilt 8 = 4 × (R + L) bzw. 2 = R + L
    Dies in (1) eingesetzt, ergibt 2 + W 2 = 8 + 3R bzw. W 2 = 6 + 3R
    Da 2 = R + L , kann R nur entweder 0, 1 oder 2 sein, und nur im Falle von R = 1 , ist 6 + 3 × R eine Quadratzahl. Dies führt zu R = 1, W = 3 und wieder dazu, dass es dreimal so viele weiße wie rote Kugeln gibt. Es gibt also in jedem Fall dreimal so viele weiße wie rote Christbaumkugeln.
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40 Kinderwunsch
    Diese Aufgabe ist erheblich schwieriger als ähnliche Rätsel, die man zuweilen als Denksportaufgabe findet, und sie zählt mit zu den Juwelen dieser Sammlung vergnüglicher Weihnachtsknobeleien. Nicht weil ihre Lösung sehr elegant wäre oder tiefe mathematische Einsichten erfordern würde, sondern weil sie mit etwas Logik und Hauptschulmathematik gelöst werden kann und dennoch alles andere als einfach zu knacken ist.
     
    Wir bezeichnen das Alter von Andrea mit A, das von Bert mit B, jenes von Sam mit S und jenes von Tina mit T.   Max bezeichne das Alter des ältesten Geschwisters und Min das Alter des jüngsten Geschwisters.
     
    Vor 4   Jahren betrug das Alter von Tina und Bert in Jahren zusammengenommen 60   % des Alters des ältesten Geschwisters zuzüglich dem Alter von Sam in jeweils 6   Jahren. 
     
    D. h.
     
    (T – 4) + (B – 4) = ⅗ × [(Max + 6) + (S + 6)] (×)
     
    bzw.
     
    (T + B – 8) × 5 = (Max + S + 12) × 3
     
    bzw.
     
    5 × T + 5 × B – 40 = 3 × S + 3 × Max + 36
     
    bzw.
     
    5 × T – 3 × S – 40   –   36 = 3 × Max – 5 × B (*)
     
    Andrea ist jetzt halb so alt, wie Sam und Tina zusammen sein werden, wenn Bert 13   Jahre jünger als Sam und Andrea zusammen sein wird.
     
    Dies sei in x Jahren der Fall, dann gilt:
     
    2 × A = (S + x) + (T + x) (i)
     
    und
     
    B + x + 13 = (S + x) + (A + x) (ii)
     
    Aus (i) folgt wegen 2 × A – 2 × x = S + T , dass S und T beide gerade oder beide ungerade sind. (iii)
    Also ist 5 × T – 3 × S definitiv gerade. Also ist wegen (*) auch 3 × Max – 5 × B gerade, und daraus folgt, dass Max und B entweder beide gerade oder beide ungerade sind. (iv)
     
    Vor 1   Jahr war Andrea so alt wie Sam und Tina zusammen.
     
    A – 1 = S – 1 + T – 1 (xii)
     
    Damit kann weder Sam noch Tina das älteste Geschwister sein, sondern es kommen nur Andrea oder Bert in Frage, andererseits kann Andrea nicht das jüngste Kind sein, sondern dafür kommen nur Bert, Sam und Tina in Frage.
     
    In 6   Jahren wird Bert doppelt so alt sein wie das jüngste Geschwister, 1   Jahr bevor Sam und Andrea zusammen 42 sein werden, sein wird. 
    Sam und Andrea sollen in y Jahren zusammen 42   Jahre alt sein, dann gilt:
     

     
    Sowie:
     
    (S + y) + (A + y) = 42 (v)
     
    Aus (v) folgt, dass S und A entweder beide gerade oder beide ungerade sind, und mit (iii) folgt, dass A, S und T alle entweder gerade oder ungerade sind. (**)
    Aus der linken Seite von (vi) folgt, dass B gerade ist.
     
    In 15   Jahren wird das jüngste Geschwister so alt sein, wie das älteste heute ist. 
     
    Min + 15 = Max (vii)
     
    Min und Max können nicht beide gerade, aber auch nicht beide ungerade sein, also können sie gemäß (**) nicht beide aus {A, S, T} sein, und somit muss B entweder Min oder Max sein.
    Nehmen wir einmal an, B = Min.
     
    Nur Andrea oder Bert kommen überhaupt als ältestes Geschwister in Frage, wenn also B = Min, dann wäre
     
    A = Max = B + 15
     
    Ersetzen wir in (ii) A durch B + 15, dann bekommen wir aber
     
    S + 2 + x = 0,
     
    was unmöglich ist, denn die Summe positiver Zahlen kann nicht null ergeben. Also ist B nicht das Minimum, sondern das Maximum.
     
    Mit der Kenntnis, dass B = Max = Min + 15 ist, lässt sich nun (vi) vereinfachen zu:
     
    B + 6 = 2 × Min + 2 × y – 2
    B = 2 × Min + 2 × y – 8
    15 + Min = 2 × Min + 2 × y – 8
    15 = Min + 2 × y – 8
    23 = Min + 2 × y (ix)
    (v) – (ix) ergibt schließlich:
    19 = S + A – Min (xi)
     
    Aus (i) wissen wir auch, dass
     

    und somit A > Min gelten muss, folglich kann Min nur S oder T sein.
     
    Tina ist nicht das