Das neue Haus vom Nikolaus

Das liegt aber nicht daran, dass es zehn Professoren sind, sondern es liegt an den Zahlen, die sie auf ihren Hüten tragen. Wir versetzen uns immer in die Lage der Professoren mit den höchsten Nummern im Saal, weil es jene sind, die sich als Erste über ihre Situation klarwerden müssen, weil sie ja den Raum verlassen müssen.
    Jedem Professor ist Folgendes klar: Wenn gleich zu Beginn einer der Professoren lediglich die Zahl 1 auf den Hüten der Kollegen sehen würde, dann wüsste dieser, dass es keine größere Zahl im Raum gibt als seine eigene, und er würde den Saal bereits beim ersten Löschen des Lichtes verlassen. Wenn sich nach einmaligem Löschen des Lichts noch alle Professoren im Saal befinden, dann beweist dies automatisch, dass jeder der Professoren eine Zahl sieht, die mindestens 2 beträgt. Also gibt es mindestens zwei Professoren, die eine Zahl größer oder gleich 2 haben. Wenn jetzt, nach einmaligem Löschen des Lichtes, ein Professor nur Einsen und ansonsten eine andere Zahl sieht, dann weiß er, dass er ebenfalls eine von Eins verschiedene Zahl haben muss. Wäre dies nicht der Fall, dann hätte der andere Professor mit der Zahl ungleich Eins bereits beim ersten Löschen des Lichtes den Saal verlassen. Wenn diese andere Zahl eine Zwei ist, dann kann der Professor, der selbst nur eine Zwei und ansonsten lauter Einsen sieht, den Saal beim nächsten Löschen des Lichtes verlassen,weil er nun weiß, dass er eine andere Zahl als die Eins trägt und diese andere Zahl nicht kleiner als die Zwei sein kann, die er bei seinem Kollegen sieht. Dasselbe gilt aber auch für den anderen Professor mit der Zwei. Sieht ein Professor 2   Zweien und nach zweimaligem Löschen des Lichtes verlässt kein Professor den Raum, dann weiß er, dass er selbst eine Zahl größer als eins tragen muss, denn sonst würden die beiden anderen Professoren mit der Zwei jeweils nur einen Zweier sehen und hätten unserer vorherigen Überlegung zufolge bereits beim zweiten Löschen des Lichtes den Saal verlassen. Diese Überlegung können wir unbegrenzt fortsetzen (wenn wir mathematisch absolut korrekt sein wollten, müssten wir hier das Verfahren der vollständigen Induktion anwenden). Wenn ein Professor n-mal die Zwei und sonst lauter Einser sieht und nach n-maligem Löschen des Lichtes noch niemand den Saal verlassen hat, dann weiß er, dass er selbst eine Zahl trägt, die größer als eins und somit größer oder gleich zwei ist. Er darf den Raum deshalb beim (n + 1)-ten Löschen des Lichtes verlassen. Sieht ein Professor nun 4-mal die Eins, 4-mal die Zwei und 1-mal die Vier und befinden sich nach fünfmaligem Löschen des Lichtes noch immer alle Professoren im Raum, dann weiß er, dass er selbst eine von Eins verschiedene Zahl trägt, ansonsten wäre der Professor mit der sichtbaren Vier bereits gegangen. Wenn nun der Professor mit der Vier auch nach sechsmaligem Löschen des Lichtes den Saal noch nicht verlassen hat, dann weiß der beobachtende Professor sogar, dass er selbst eine Zahl hat, die größer als zwei ist, also drei, vier, fünf oder gar noch größer. Der beobachtete Professor mit der Vier weiß dies dann allerdings aus denselben Gründen von sich selbst ebenfalls, denn er ist ja auch ein Beobachter, der dasselbe sieht wie jener Professor, in dessen Rolle wir gerade geschlüpft sind. Die beiden Professoren mit der Vier wissen also auch von sich gegenseitig, dass jeder von ihnen weiß, dass seine Zahl mindestens Drei beträgt. Also wissen sie auch, dass, wenn ihr gegenüber bei ihnen nur eine Drei beobachtenwürde, er beim siebten Löschen des Lichtes den Saal verlassen würde, weil er ja von sich selbst weiß, dass er ebenfalls mindestens eine Drei trägt und es offensichtlich keine größere Zahl auf den anderen Hüten gibt. Wenn nach siebenmaligem Löschen des Lichtes immer noch alle Professoren anwesend sind, dann wissen beide Professoren mit der Vier, dass sie selbst mindestens eine Vier tragen müssen, und weil sie keine höhere Zahl sehen als die Vier, verlassen sie beide den Raum beim achten Löschen des Lichtes. Was wissen nun die übrigen Professoren, insbesondere jene, die eine Zwei tragen? Diese wissen, wie die beiden Professoren mit der Vier logisch überlegt haben, um beim achten Löschen des Lichtes den Raum zu verlassen, und können daher schließen, wie viele von ihnen insgesamt eine Zwei tragen müssen, sodass alle, die eine Zwei weniger sehen, als es nach diesen Überlegungen Zweien geben muss, also