Das neue Haus vom Nikolaus

individuelle Anzahl an Möglichkeiten, wie wir auf den Streckenabschnitt auf der jeweiligen Hauptstraße gelangen könnten, wenn wir berücksichtigen, wie die Einbahnstraßen gelegt sind. So gäbe es z.   B. für einen Streckenabschnitt auf einer der Hauptstraßen a Möglichkeiten, wie man in ihn hineingelangen kann, und für den parallelen Abschnitt auf der anderen Hauptstraße gäbe es b solcher Möglichkeiten. Zusammen sind das a + b Möglichkeiten, den Abschnitt auf der einen oder der anderen Hauptstraße zu durchfahren. Schauen wir uns an, wie sich die Anzahl der Möglichkeiten auf den weiteren Streckenabschnitten entwickelt, wenn die folgende Querstraße zu einer Einbahnstraße wird:

    Ganz gleich, in welche Richtung die Einbahnstraße zeigt, wenn wir a und b durch a' und b' ersetzen mit a' ≥ a, b' ≥ b und a' + b' > a + b , dann wird auch die Zahl der Gesamtwege 2a' + b' > 2a + b echt größer, und die Anzahl der Möglichkeiten auf den beiden folgenden Straßenabschnitten sind jeweils gleich groß oder größer, a' ≥ a und a' + b' > a + b.
    Wenn wir dagegen die Zahlen a und b nicht verändern, sondern die Richtung der Einbahnstraße umkehren, dann ändern sich die Möglichkeiten auf den Folgeabschnitten und die Anzahl der Gesamtwege. An der Zahl der Gesamtwege ist aus der Grafik abzulesen, dass diese dann maximal wird, wenn die Einbahnstraße hinter einem Streckenabschnitt von jener Hauptstraße wegführt, welche bis dorthin die meisten Zufahrtsmöglichkeiten hatte. In der Grafik ist die Einbahnstraße im Sinne der Aufgabenstellung also gerade dann richtig ausgerichtet, falls a > b. Wir sehen aber auch, dass damit auf dem folgenden Streckenabschnitt es auf einmal die andere Hauptstraße ist, welche in diesem Streckenabschnitt die meisten Zufahrtsmöglichkeiten besitzt. Durch das Ändern der Fahrtrichtung einer Einbahnstraße bewirken wir, dass auf den folgenden parallelen Streckenabschnitten die bisher größere Zahl der beiden Möglichkeiten (a + b) erhalten wird, während sich die bisher kleinere Zahl (a) ändert (in b).
    Aufgrund dieser Feststellungen muss man aufeinanderfolgende Einbahnstraßen immer in zueinander entgegengesetzter Fahrtrichtung anlegen, um am Ende die größtmögliche Anzahl an Fahrtwegen zu erhalten.
    Da am Ortsanfang a = b = 1 gilt, spielt es für die erste Einbahnstraße keine Rolle, in welche Richtung sie zeigt. Sie kann deshalb so ausgerichtet werden, dass die Einbahnstraße hinter dem Streckenabschnitt mit dem Festplatz von dieser Hauptstraße wegführt und den direkten Zufahrtsweg zum Friseurgeschäft Kurz und Gut freigibt, sodass Herr Hintermond diesen Teil seiner Fahrt wie gehabt vornehmen kann. In der folgenden Grafik sehen Sie links das Kaufhaus sowie den Weihnachtsmarkt, der sich an der Stelle des Stern befindet. Jeder Streckenabschnitt ist mit der Anzahl der Möglichkeiten beschriftet, mit der man, vomKaufhaus kommend, in diesen Streckenabschnitt hineingelangen kann. Die schwarzgezeichnete Einbahnstraße ist jene, in der das Friseurgeschäft liegt.

    Herr Hintermond kann also auf acht unterschiedlichen Wegen zum Weihnachtsmarkt gelangen. Um den dazu parallelen Abschnitt auf der anderen Hauptstraße zu erreichen, hätte er theoretisch fünf unterschiedliche Möglichkeiten. Für die weiteren Überlegungen verfallen diese aber, denn in diesen Abschnitt wird er ja definitiv nicht hineinfahren, sodass wir die Zahl für diesen Abschnitt für den weiteren Weg auf null zurücksetzen können. Die folgende Grafik zeigt die Möglichkeiten für den weiteren Heimweg. Abschnitte, die wegen des Friseurbesuchs nicht erreichbar sind, wurden dabei durchgestrichen. Es gibt genau unmittelbar nach dem Friseurbesuch nur eine mögliche Hauptstraße und 8   Möglichkeiten, wie wir zu diesem Streckenabschnitt gelangen konnten.

    Diese acht Möglichkeiten müssen wir von den 40   Möglichkeiten des Abschnittes zwischen der zehnten und elften Querstraße auf derselben Hauptstraße subtrahieren, denn sie entsprechen zahlenmäßig jenen Möglichkeiten, wie wir dorthin gelangen, ohne eine der vorausgehenden vier Querstraßen zu benutzen, was aber im Aufgabentext so vorgeschrieben war. Vom Kaufhaus zum Haus von Herrn Hintermond in der letzten, graugezeichneten Querstraße, welche keine Einbahnstraße darstellt, gibt es somit 56 + 88 = 144 unterschiedliche Fahrtwege, die allen Bedingungen der Aufgabenstellung genügen.
    [zurück zum Text]

[zurück zum Text]
     
64 Einsame Inselweihnacht
    Mit seiner