Der Geek-Atlas (German Edition)

Missouri, ist mit 192 Metern das höchste Denkmal Amerikas ( Abbildung 103.1 ). Es wurde 1967 eröffnet. Die Aussicht von dort oben ist spektakulär. Die Aussichtplattform ist mit kleinen 5-Personen-Trams
     zu erreichen, die durch den Bogen fahren. Oben angelangt, können Sie die perfekte Konstruktion des Bogens bewundern.
    Abbildung 103.1 Gateway Arch; zur Verfügung gestellt von Pat Dye (gobucks2)
    Obwohl der Bogen von Menschen gebaut wurde, hat er etwas Natürliches an sich, weil die zugrundeliegende Kurve eine Form ist,
     die sich einfach durch die Erdanziehungskraft ergibt. Nehmen Sie je ein Ende eines kurzen Seils (oder einer Schnur oder eines
     Halsbandes mit einer gleichmäßigen Breite) in eine Hand und halten Sie dabei beide Hände auf gleicher Höhe. Das Seil bildet
     wegen der Schwerkraft durch sein eigenes Gewicht eine anmutige Kurve. Diese Form wird Kettenkurve, Kettenlinie oder auch Seilkurve
     genannt. Der lateinische Ausdruck lautet Katanoide. Das Gewicht des Seils wird über die Zugspannung durch das Seil selbst
     übertragen.
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    Katenoide
    Ein zwischen zwei Telefonanschlüssen hängendes Kabel hat die Form einer Katenoide. Eine solche Kurve erinnert ein wenig an
     eine Parabel, doch das ist sie nicht – tatsächlich handelt es sich um eine hyperbolische Cosinus-Funktion. Was folgt ist wahrscheinlich
     das schwerste Stück Mathematik in diesem Buch. Es handelt sich um eine ganze Reihe schwieriger Berechnungen, aber versuchen
     Sie, trotzdem zu folgen!
    Stellen Sie sich ein Kabel vor, das aufgrund seiner eigenen Schwerkraft durchhängt, und ziehen Sie eine vertikale Y-Achse
     durch den tiefsten Punkt des Kabels. Diesen Punkt bezeichnen wir als A. Wählen Sie einen weiteren Punkt zur Rechten des Kabels
     und nennen Sie ihn B. Die Linie vom Ursprung O zum Punkt B ergibt einen Winkel a mit der X-Achse. (Siehe Abbildung 103.2 .)
    Abbildung 103.2 Eine Katenoide
    Drei Kräfte wirken auf das Segment AB ein – es gibt eine horizontale Spannung T am Punkt A, die Spannung F entlang des Kabels
     am Punkt B und das nach unten wirkende Gewicht W des Segments AB. Da sich das Kabel nicht bewegt, sind diese drei Kräfte im
     Gleichgewicht und können in einem Kräftedreieck dargestellt werden ( Abbildung 103.3 ).
    Abbildung 103.3 Kräftedreieck
    Die Trigonometrie lehrt uns Folgendes: F sin a = W und F cos a = T. Das Gewicht des Segments kann über die lineare Dichte
     des Kabels (nennen wir sie D) multipliziert mit der Segmentlänge (nennen wir sie I) errechnet werden: W = Dl. Dividiert man
     die beiden trigonometrischen Gleichungen, dann eliminiert man die Kraft F und drückt den Winkel (der die Neigung des Kabels
     bestimmt) über das Gewicht des Kabels und die horizontale Zugspannung aus ( Gleichung 103.1 ).
    Gleichung 103.1. Katenoide-Gleichung
    Die Koordinaten von B lauten (x, y) und die Trigonometrie besagt, dass dx/dl = cos a und dy/dl = sin a sind. Differenziert
     man die obige Gleichung, dann ergibt sich dl/da = T/D sec 2 a. Somit lassen sich all diese Sachverhalte über die Differenzierung von a (siehe Gleichung 103.2 ) ausdrücken.
    Gleichung 103.2. Katenoide-Differenzialgleichungen
    Nun integriert man diese beiden Gleichungen, um Gleichungen für x und y ( Gleichung 103.3 ) zu erhalten.
    Gleichung 103.3. x und y ausgedrückt über a
    Tatsächlich sind beide Konstanten 0. c 0 ist 0, weil der Winkel a 0 ist, wenn x 0 ist (siehe das Diagramm in Abbildung 103.2 ). c 1 kann zu 0 werden, indem man die X-Achse an T/D positioniert.
    Stellen Sie die Gleichung nun nach x um und potenzieren Sie sie mit e. Eine Umkehrung der resultierenden Gleichung und ein
     wenig Trigonometrie (erinnern Sie sich daran, dass tan 2 a + 1 = sec 2 a ist) liefern uns die beiden Exponentialgleichungen in Gleichung 103.4 .
    Gleichung 103.4. Katenoid-Exponentialgleichungen
    Addieren sie diese zusammen und Sie erhalten die Gleichung für y basierend auf x, was uns die Form der Kurve liefert. (siehe Gleichung 103.5 ).
    Gleichung 103.5. Die Katenoid4-Gleichung
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    Wenn Sie nun eine solche Kettenlinie umdrehen und auf einem festen Untergrund bauen, entsteht ein katenoidförmiger Bogen.
     Gateway Arch ist hierfür ein schönes Beispiel, doch katenoide Bögen sind weit verbreitet. Sie werden seit der Antike gebaut,
     weil sie stabil sind – das Gewicht der Bogenkomponenten wird über die Schenkel des Bogens nach unten übertragen.
    Gateway Arch hat die Form einer Kettenlinie und eine Metallhaut, die aus Metallstücken in Form