Der Geek-Atlas (German Edition)

Mathematiker Felix Klein (leider ist kein Diagramm einer Kleinschen Vierergruppe auf seinem
     Grabstein abgebildet; eine Einführung in die Gruppentheorie finden Sie im folgenden Kasten) und Karl Schwarzschild, dessen
     Beitrag zur Astrophysik mit einem Globus auf seinem Grabsein gewürdigt wird.
    Auf der anderen Seite des Friedhofs liegen andere Berühmtheiten nahe beieinander. Es gibt einen einfachen Stein für den Mathematiker
     David Hilbert, in den die Worte »Wir müssen wissen. Wir werden wissen« eingraviert sind. Von dort ist es nur ein kurzer Weg
     zum Grab von Max Planck, dessen Namen und Konstante Sie auf einem ähnlich einfachen Grabmahl finden.
    Rechts neben Plank liegt Otto Hahn begraben, der die Kernspaltung entdeckte – ein kleines Diagramm auf seinem Grab zeigt,
     wie Uran ein Neutron absorbiert (siehe die Kaliumjodid und die Schilddrüse und Der Brüterreaktor ). Als nächstes findet man die letzte Ruhestätte des Physikers Walther Nernst, der neben dem Chemiker Adolf Windaus begraben
     liegt. Dieser erhielt den Nobelpreis unter anderem dafür, dass er zeigte, wie Cholesterin in das Vitamin D3 umgewandelt wird.
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    Gruppentheorie
    Die Gruppentheorie ist ein schönes Beispiel dafür, wie sich ein Stück scheinbar abstrakter Mathematik auch in der realen Welt
     als nützlich erweist. Selbst Rubiks in den 1980ern gefeierter Zauberwürfel basiert auf der Gruppentheorie.
    Für Mathematiker besteht eine Gruppe aus einer Menge in Kombination mit einer Verknüpfung, die für jeweils zwei Elemente dieser
     Menge angewendet wird (siehe Mengenlehre und transfinite Zahlen ). Wird zum Beispiel die Menge aller ganzen Zahlen (positive wie negative) als Z bezeichnet, und mit + (der normalen Addition)
     verknüpft, bilden sie die Gruppe (Z, +).
    Um als Gruppe zu gelten, müssen die Menge und die Verknüpfung drei Regeln erfüllen: die Verknüpfung muss assoziativ sein,
     es muss ein neutrales Element geben, und es muss zu jedem Element der Menge ein inverses Element vorhanden sein.
    Assoziativität heißt, dass die Reihenfolge der Operationen mit den Elementen der Menge keine Rolle spielt. Für die (Z, +)
     beispielesweise kann die Summe 2 + 3 + 4 ermittelt werden, indem man zuerst 2 + 3 berechnet, und dann 4 hinzuaddiert, oder
     zuerst 3 + 4 berechnet und dann 2 hinzuaddiert.
    Das neutrale Element lässt jedes Element der Menge unverändert, wenn es bei der Gruppen-Verknüpfung verwendet wird. Das neutrale
     Element in (Z, +) ist 0, weil sich eine Zahl nicht ändert, wenn man 0 hinzuaddiert (2 + 0 bleibt 2).
    Bei dem inversen Element schließlich handelt es sich um das Negativ für das einzelne Element. In der Gruppe (Z, +) verfügt
     jede Zahl über ein inverses Element: das inverse Element von 2 ist beispielsweise –2. In einer Gruppe muss jedes Element ein
     inverses Element dieses Typs aufweisen – wenn das Element und dessen inverses Element über die Verknüpfung kombiniert werden,
     muss das Ergebnis das neutrale Element sein (z. B. 2 + –2 = 0).
    Ein Bereich, in dem die Gruppentheorie sich als nützlich erweist, ist die Symmetrie von Objekten. So ist es beispielsweise
     möglich, Gruppen für die Rotation ( Abbildung 22.1 ) und Spiegelung ( Abbildung 22.2 ) eines Quadrats zu bilden. Es gibt drei mögliche Rotationen eines Quadrats: um 90° (r 90 ), 180° (r 180 ), und 270° (r 270 ). Es gibt vier mögliche Spiegelungen: horizontal (h), vertikal (v) und an den beiden Diagonalen (d 1 und d 2 ).
    Eine Gruppe kann nun aus dieser Menge der Symmetrien des Würfels und einem neutralen Element (i) (das sich in keiner Hinsicht
     auf das Quadrat auswirkt) aufgebaut werden. Alle Symmetrien können in der Menge (S) abgelegt werden, die dann i, r 90 , r 180 , r 270 , h, v, d 1 und d 2 enthält.
    Abbildung 22.1 Rotierte Symmetrien eines Quadrats: i, r 90 , r 180 , and r 270
    Abbildung 22.2 Gespiegelte Symmetrien eines Quadrats: h, v, d 1 und d 2
    Um eine Gruppe zu bilden, benötigen wir eine Operation – im Falle der Symmetrien heißt diese Operation einfach »tue dies,
     gefolgt von jenem«. Zum Beispiel könnte man eine Rotation um 90°, gefolgt von einer Spiegelung an der Horizontalen, mit h
     ← r 90 angeben. Das Stern-Symbol steht für diesen Gruppenoperator (»tue dies, gefolgt von jenem«), und die Gruppe kann (S, ←) geschrieben
     werden.
    (S, ←) bildet eine Gruppe – der Operator ist assoziativ, es gibt eine neutrale Symmetrie und es ist immer möglich, eine Rotation
     oder Spiegelung