Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Halbsatz einer Wenn-dann-Aussage überhaupt keine Beziehung zu bestehen braucht, damit sie innerhalb der Aussagenlogik bewiesen werden können. „Relevante Implikation“ oktroyiert dem Zusammenhang, in dem sich die Schlußregeln anwenden lassen, gewisse Einschränkungen. Sie besagt intuitiv, daß „ein Objekt nur von einem anderen abgeleitet werden kann, wenn sie etwas miteinander zu tun haben“. Zum Beispiel würde Zeile 10 in der obigen Ableitung nicht zugelassen und das würde die Ableitung der Kette << P ∧~ P >⊃ Q > blockieren.
    Noch radikalere Ansätze verzichten völlig auf die Suche nach Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit und versuchen, das menschliche folgerichtige Denken mit all seinen Widersprüchen nachzuahmen. Forschung dieser Art zielt nicht mehr darauf ab, der Mathematik eine feste Grundlage zu geben, sondern will einfach die menschlichen Denkprozesse ergründen.
    Trotz ihrer Besonderheiten besitzt die Aussagenlogik lobenswerte Qualitäten. Wenn man sie in ein größeres System einbettet (wie wir es im nächsten Kapitel tun werden) und wenn wir sicher sind (und das werden wir sein), daß das größere System keine Kontradiktionen enthält, leistet die Aussagenlogik alles, was man sich erhoffen könnte: Sie liefert gültige aussagenlogische Folgerungen — alle, die möglich sind. Wenn aber jemand eine Lücke oder einen Widerspruch aufdeckt, kann er sicher sein, daß das der Fehler des umfassenderen System ist und nicht seines Teilsystems, nämlich der Aussagenlogik.

    Abb. 42 . Krebskanon , von M. C. Escher (ca. 1965).

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Krebs-Kanon
    Achilles und Theo Schildkröte treffen sich zufällig bei einem Spaziergang im Park.
    Schildkröte: Guten Tag, Achilles.
    Achilles: Gleichfalls, gleichfalls.
    Schildkröte: So nett, Sie wiederzusehen!
    Achilles: Ebenfalls.
    Schildkröte: Ein wunderschöner Tag für einen Spaziergang. Ich werde mich bald auf den Heimweg machen.
    Achilles: Tatsächlich? Es gibt wohl nichts besseres als zu Fuß zu gehen.
    Schildkröte: Übrigens befinden Sie sich in blendender Verfassung, das muß ich sagen.
    Achilles: Vielen Dank.
    Schildkröte: Bitte . . . Hier — mögen Sie eine Zigarre?
    Achilles: Ach, Sie Banause! Auf diesem Gebiet sind die holländischen Beiträge doch von spürbar schlechtem Geschmack, finden Sie nicht auch?
    Schildkröte: In diesem Fall bin ich nicht einverstanden. Was aber den Geschmack angeht, so habe ich vor einiger Zeit endlich den Krebskanon Ihres Lieblingskünstlers M. C. Escher in einer Galerie gesehen, und ich weiß die Schönheit und den Einfallsreichtum sehr wohl zu schätzen, mit dem er ein einziges Thema mit sich selbst verzahnt, und zwar vorwärts wie rückwärts. Aber ich werde wohl immer Bach über Escher stellen.
    Achilles: Ich weiß nicht. Aber eines ist sicher, in Geschmacksfragen mache ich keine Abstriche: De gustibus non est disputandum.
    Schildkröte: Sagen Sie, wie fühlt man sich so in Ihrem Metier? Stimmt es, daß man sich da Sex und Leidenschaft aus dem Kopf streicht?
    Achilles: Genau genommen, wird die eine nicht gestrichen.
    Schildkröte: Aber ist beides nicht dasselbe?
    Achilles: Letzteres ist eine kultiviertere Variante, finde ich.
    Schildkröte: Sagen Sie, spielen Sie nicht Gitarre oder Geige?
    Achilles: Das ist mein guter Freund. Er spielt oft, der Narr. Ich hingegen würde keiner Bohnenstange einen Streich versetzen.
    (Plötzlich taucht Carl Krebs aus dem Nichts auf, kommt aufgeregt näher und zeigt ein ziemlich auffälliges blaues Auge.)
    Krebs: Grüß Gott! Bei Zeus, es gibt was Neu's, Sehen Sie diese Beule? Ziemlich groß! Von einem Stoß! Verpaßt von einem Koloß! Ho! Und an einem so schönen Tag. Da hänge ich müßig an der Frittenbude 'rum, und plötzlich latscht diese Bohnenstange aus Budapest daher, ein kolossal baumlanger Mensch, und spielt Laute. Er war drei Meter groß. Ich mache mich an den Kerl ran, strecke meinen Arm in die Höhe, bringe es fertig, ihm aufs Knie zu klopfen und sage „Verzeihung, mein Herr, aber Sie verpesten die Bude mit ihrem lauten