Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

von Komplexität mit sich. Im Falle von Beweisen ist es die Komplexität des Systems, auf dem sie beruhen, nämlich der menschlichen Sprache, und im Falle von Ableitungen ist es ihr astronomischer Umfang, der es fast unmöglich macht, sie zu verstehen.
    So sollte man die Aussagenlogik als einen Teil einer umfassenderen Methode zur synthetischen Erzeugung künstlicher beweisartiger Strukturen betrachten. Sie besitzt jedoch nur geringe Flexibilität oder Allgemeinheit. Sie ist nur für den Gebrauch im Zusammenhang mit mathematischen Begriffen gedacht — die ihrerseits sehr starr sind. Als ein recht interessantes Beispiel führen wir eine Ableitung durch, in der eine sehr merkwürdige Kette als Voraussetzung in einer „Fantasie“ verwendet wird: < P ∧~ P >. Zumindest ist ihre Halb-Interpretation merkwürdig. Die Aussagenlogik jedoch denkt nicht über Halb-Interpretationen nach; sie manipuliert einfach Ketten typographisch und typographisch ist nichts besonderes an dieser Kette. Hier die „Fantasie“ mit dieser Kette als Voraussetzung:
1)
[
push
2)
< P ∧~ P >
Voraussetzung
3)
P
Trennungsregel
4)
~ P
Trennungsregel
5)
[
push
6)
Q
Voraussetzung
7)
P
Übernahmeregel (von Zeile 3)
8)
~~ P
Regel der Doppeltilde
9)
]
pop
10)
<~ Q ⊃~~ P >
Fantasieregel
11)
<~ P ⊃ Q >
Kontrapositionsregel
12)
Q
Abtrennungsregel (Zeilen 4, 11)
13)
]
pop
14)
<< P ∧~ P >⊃ Q >
Fantasieregel
    Nun hat dieser S ATZ eine sehr seltsame Halb-Interpretation:
    P und nicht- P zusammen implizieren Q .
    Da Q durch jede Aussage interpretierbar ist, könnten wir sagen, daß es ungefähr bedeutet: „Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges.“ So können in Systemen, die auf der Aussagenlogik beruhen, Kontradiktionen nicht gebändigt werden; sie infizieren das gesamte System wie ein plötzlich auftretender globaler Krebs.
Umgang mit Kontradiktionen
    Das klingt nicht gerade nach menschlichem Denken. Wenn jemand in seinen eigenen Gedanken auf eine Kontradiktion stößt, ist es äußerst unwahrscheinlich, daß seine ganze geistige Welt zusammenstürzt. Statt dessen würde man vermutlich die Annahmen und Methoden seines folgerichtigen Denkens in Frage stellen, von denen man glaubt, daß sie zu kontradiktorischen Denkergebnissen geführt haben. In anderen Worten: insofern es einem möglich ist, würde man aus den Systemen in seinem Inneren, von denen man glaubt, daß sie die Kontradiktionen verursacht hätten, heraustreten und versuchen, sie zu reparieren. Am wenigsten wahrscheinlich ist, daß man seine Arme hochwirft und ausruft: „Nun, das zeigt wohl, daß ich jetzt alles glaube!“ Als ein Witz — ja. Aber nicht im Ernst.
    Tatsächlich ist Kontradiktion eine der Hauptquellen der Begriffsklärung und des Fortschritts in allen Lebensbereichen, und die Mathematik bildet da keine Ausnahme. Wenn sich früher in der Mathematik eine Kontradiktion fand, versuchten die Mathematiker sofort, das dafür verantwortliche System zu ermitteln, aus ihm herauszuspringen, darüber nachzudenken und es zu verbessern. Die Entdeckung und Beseitigung einer Kontradiktion schwächte die Mathematik nicht, sondern kräftigte sie.
    Das brauchte vielleicht Zeit und eine Anzahl von Fehlstarts, aber schließlich trug es Früchte. Zum Beispiel disputierte man im Mittelalter leidenschaftlich über den Wert der unendlichen Reihe
    1−1+1−1+1−...
    Man „bewies“, daß sie gleich 0, 1 oder ½ und vielleicht noch andere Werte sei. Aus solchen kontroversen Ergebnissen entstand eine umfassendere und tiefer schürfende Theorie der unendlichen Reihen.
    Ein Beispiel, das uns näher liegt, ist die Kontradiktion, der wir uns im Augenblick gegenübersehen, nämlich die Diskrepanz zwischen der Art, wie wir tatsächlich denken,und der Art, wie die Aussagenlogik uns imitiert. Für viele Logiker war das ein Stein des Anstoßes, und viel schöpferische Anstrengung wurde auf den Versuch verwendet, die Aussagenlogik so zurecht zu flicken, daß sie sich nicht so stupid und unflexibel verhält. Ein Versuch, den A. R. Anderson und N. Belnap in ihrem Buch Entailment 3 machen, bringt „relevante Implikation“ ins Spiel, das heißt den Versuch, das Symbol „Wenn-dann“ wirkliche Kausalität darstellen zu lassen, oder doch mindestens eine Verknüpfung der Bedeutungen. Betrachten wir die folgenden aussagen-logischen S ÄTZE .
    < P ⊃< Q ⊃ P >>
    < P ⊃< Q ∨~ Q >>
    << P ∧~ P >⊃ Q >
    << P ⊃ Q >∨< Q ⊃ P >>
    Diese und viele ähnliche zeigen alle, daß zwischen dem ersten und dem zweiten