Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Titel: Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band Kostenlos Bücher Online Lesen
Autoren: Douglas R. Hofstadter

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oder Aussage zu verwandeln, ist, ihr einen Quantor vorauszustellen — entweder die Wendung „es existiert eine Zahl b , so daß ...“, oder aber die Wendung „für alle Zahlen b “. Im ersten Falle erhält man:
    Es existiert eine Zahl b , so daß b plus 1 gleich 2. Das ist offensichtlich wahr.
    Im zweiten Fall enthält man:
    Für alle Zahlen b ist b plus 1 gleich 2.
    Das ist offensichtlich falsch. Wir führen nunmehr Symbole für die beiden Quantoren ein. Die beiden oben stehenden Aussagen werden wie folgt in die TNT-Notation übersetzt:
∃b :( b + S0 )= SS0
(„∃“ steht für „es existiert“.)
∀b :( b + S0 )= SS0
(„∀“ steht für „für alle“.)
    Es ist sehr wichtig zu beachten, daß diese Aussagen sich nicht mehr auf unspezifizierte Zahlen beziehen; die erste ist eine Existenzbehauptung, die andere eine Allbehauptung. Sie würden dasselbe bedeuten, auch wenn man sie mit c anstatt b schriebe:
    ∃c :( c + S0 )= SS0
∀c :( c + S0 )= SS0
    Eine von einem Quantor beherrschte Variable nennt man quantifizierte Variable. Die beiden folgenden Formeln illustrieren den Unterschied zwischen freien und quantifizierten Variablen
( b·b )= SS0
(offen)
~ ∃b :( b·b )= SS0
(geschlossen, eine Aussage der TNT)
    Die erste Formel drückt eine Eigenschaft aus, die eine natürliche Zahl besitzen müßte. Selbstverständlich besitzt keine natürliche Zahl diese Eigenschaft. Und genau das spricht die zweite Formel aus. Es ist von größter Wichtigkeit, daß man den Unterschied versteht zwischen einer Kette mit einer freien Variablen, die eine Eigenschaft ausdrückt,und einer Kette, in der die Variable quantifiziert ist und die eine Wahrheit oder eine Unwahrheit ausdrückt. Die Übersetzung einer Formel mit mindestens einer freien Variablen — einer offenen Formel — ins Deutsche lautet „Prädikat“. Es ist eine Aussage ohne Subjekt (oder eine Aussage, deren Subjekt ein kontextfreies Pronomen ist). Zum Beispiel sind
    „ist eine Aussage ohne Subjekt“
    „wäre eine Anomalie“
    „rennt gleichzeitig vorwärts und rückwärts“
    „improvisierte eine sechsstimmige Fuge auf Bestellung“
    nicht-arithmetische Prädikate. Sie drücken Eigenschaften aus, die spezifische Subjekte haben — oder auch nicht. Man könnte genausogut ein „Pro-Forma-Subjekt“ wie „So-und-so“) nehmen. Eine Kette mit freien Variablen ist wie ein Prädikat mit „So-und-so“ als Subjekt. Zum Beispiel:
    ( S0 + S0 )= b
    ist, als sagte man „1 plus 1 gleich So-und-so“. Das ist ein Prädikat mit der Variablen b. Es drückt eine Eigenschaft aus, die die Zahl b haben könnte. Ersetzte man b durch verschiedene Zahlzeichen, erhielte man eine Folge von Formeln, von denen die meisten eine Unwahrheit ausdrückten. Hier ein weiteres Beispiel für den Unterschied zwischen offenen Formeln und Aussagen:
    ∀b : ∀c :( b + c )=( c + b )
    Diese Formel ist eine Aussage, die natürlich die Kommutativität der Addition darstellt. Dagegen ist
    ∀c :( b + c )=( c + b )
    eine offene Formel, da b frei ist. Sie drückt eine Eigenschaft aus, die die unspezifizierte Zahl b haben oder auch nicht haben könnte, nämlich sich zu allen Zahlen c kommutativ zu verhalten.
Übersetzung der Beispielsätze
    Damit ist unser Vokabular, mit dem wir alle zahlentheoretischen Aussagen ausdrücken werden, vollständig! Es bedarf gehöriger Übung, um den Dreh herauszubekommen, wie man komplizierte Aussagen von N in dieser Notation ausdrückt, und umgekehrt die Bedeutung wohlgeformter Formeln herausfindet. Aus diesem Grunde kehren wir zu den zu Beginn gegebenen sechs Beispielsätzen zurück, und arbeiten ihre Übersetzung in TNT heraus. Der Leser denke übrigens nicht, daß die nachstehenden Übersetzungen die einzig möglichen seien — bei weitem nicht! Es gibt viele — unendlich viele Arten, jeden einzelnen Satz auszudrücken.
    Beginnen wir mit der letzten: „6 ist gerade.“ Das formulierten wir neu in primitiveren Begriffen: „Es gibt eine Zahl e , so daß 2 mal e gleich 6 ist.“ Das ist leicht:
    ∃e :( SS0·e )= SSSSSS0
    Man beachte, daß ein Quantor notwendig ist; es ginge schlechterdings nicht an, einfach
    ( SS0·e )= SSSSSS0
    zu schreiben. Die Interpretation dieser Kette ist natürlich weder richtig noch falsch; sie drückt einfach eine Eigenschaft aus, die die Zahl e haben könnte.
    Ungewohnt ist, daß wir (da wir wissen, daß die Multiplikation kommutativ ist) ohne weiteres hätten statt dessen schreiben können
    ∃e :( e · SS0 )= SSSSSS0
    Oder (da wir