Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

wissen, daß Gleichheit eine symmetrische Beziehung ist) wir hätten die Wahl gehabt, die beiden Seiten der Gleichung in umgekehrter Folge niederzuschreiben:
    ∃e : SSSSSS0 =( SS0 · e )
    Nun sind diese drei Übersetzungen von „6 ist gerade“ ganz verschiedene Ketten, und es liegt keineswegs auf der Hand, daß wenn die eine ein S ATZ ist, die anderen ebenfalls S ÄTZE sein müssen. (In ähnlicher Weise hatte die Tatsache, daß −−p−g−−− ein S ATZ war, sehr wenig mit der Tatsache zu tun, daß die „gleichwertige“ Kette −p−−g−−− ein S ATZ war. Die Gleichwertigkeit ist in unserem Gehirn, da wir — als Menschen, die wir nun mal sind — fast automatisch an Interpretationen denken und nicht an strukturelle Eigenschaften von Formeln.
    Die Aussage 2 — „2 ist keine Quadratzahl“ — können wir fast sofort erledigen:
    ~ ∃b :( b · b )= SS0
    Aber auch hier stoßen wir wieder auf eine Doppeldeutigkeit. Was, wenn wir versucht hätten, die Kette wie folgt zu schreiben?
    ∀b :~( b · b )= SS0
    Der erste Ausdruck besagt: „Es ist nicht der Fall, daß es eine Zahl b gibt mit der Eigenschaft, daß das Quadrat von b gleich 2 ist“, während der Zweite besagt: „Für alle Zahlen b ist es nicht der Fall, daß das Quadrat von b gleich 2 ist. Wiederum sind die begrifflichen Inhalte für uns gleichwertig, aber in TNT sind es verschiedene Ketten.
    Gehen wir zu Aussage 3 über: „1729 ist die Summe zweier Kubikzahlen“. Dafür brauchen wir zwei Existenzquantoren, einen hinter dem anderen:
∃b : ∃c : SSSSSS ......... SSSSS0 =((( b·b ) ·b )+(( c·c ) ·c ))
∃b:∃c:
∃b:∃c:SSSSSSS  1729 Stück
    Alternativen gibt es in Hülle und Fülle: Umkehrung der Reihenfolge der Quantoren, Umstellung der beiden Seiten der Gleichung, Umänderung der Variablen in d und e , Umkehrung der Addition, andere Darstellung der Multiplikation usw. Jedoch bevorzuge ich die folgenden zwei Übersetzungen:
    ∃b : ∃c :((( SSSSSSSSSS0·SSSSSSSSSS0 ) · SSSSSSSSSS0 )+
(( SSSSSSSSS0·SSSSSSSSS0 ) · SSSSSSSSS0 ))=((( b·b ) · b )+(( c·c ) · c ))
    und
    ∃b : ∃c :((( SSSSSSSSSSSS0·SSSSSSSSSSSS0 ) · SSSSSSSSSSSS0 )+
(( S0·S0 ) · S0 ))=((( b·b ) · b )+(( c·c ) · c ))
    Sehen Sie warum?
Einige Kunstgriffe
    Nehmen wir uns nunmehr die verwandte Aussage 4 vor: „Die Summe zweier positiver Kubikzahlen ist selbst keine Kubikzahl.“ Nehmen wir an, daß wir einfach sagen wollten, daß 7 nicht die Summe zweier positiver Kubikzahlen ist. Am leichtesten geht das, wenn wir die Formel, die behauptet, 7 sei die Summe zweier positiver Kubikzahlen, verneinen. Das ist genau wie bei der vorausgegangenen Aussage, die mit 1729 zu tun hatte, nur daß wir noch die Bedingung hineinnehmen müssen, daß die Kubikzahlen positiv sein müssen. Hier können wir einen Kunstgriff anwenden: Wir stellen den Variablen das Symbol S voraus:
    ∃b : ∃c : SSSSSSS0 =((( Sb·Sb ) · Sb )+(( Sc·Sc ) · Sc ))
    Wie man sieht, erheben wir nicht b und c in die dritte Potenz, sondern deren Sukzessoren, die positiv sein müssen, da der kleinste Wert, den entweder b oder c annehmen können, null ist. Somit stellt die rechte Seite eine Summe von zwei positiven Kubikzahlen dar. Man beachte übrigens, daß die Wendung „Es gibt Zahlen b und c , so daß ...“, wenn übersetzt, vom Symbol „ ∧“, das für „und“ steht, keinen Gebrauch macht. Dieses Symbol dient zur Verknüpfung zweier wohlgeformter Ketten, nicht zur Verknüpfung zweier Quantoren.
    Nachdem wir nun „7 ist die Summe zweier positiver Kubikzahlen“ übersetzt haben, wollen wir es verneinen. Dazu muß man lediglich dem Ganzen eine einfache Tilde voranstellen. (Anmerkung: Man darf nicht  jeden Quantor verneinen, obgleich der erwünschte Teilsatz lautet: „Es gibt keine Zahlen b und c , so daß ...“.) Wir erhalten also
    ~ ∃b : ∃c : SSSSSSS0 =((( Sb·Sb ) · Sb )+(( Sc·Sc ) · Sc ))
    Nun war unser ursprüngliches Ziel, diese Eigenschaft nicht für die Zahl 7, sondern für alle Kubikzahlen zu behaupten. Wir ersetzen deshalb das Zahlwort SSSSSSS0 durch die Kette (( a·a ) · a ), was die Übersetzung von „ a hoch drei“ ist:
    ~ ∃b : ∃c :(( a·a ) · a )=((( Sb·Sb ) · Sb )+(( Sc·Sc ) · Sc ))
    In dieser Phase befinden wir uns im Besitz einer offenen Formel, da a noch frei ist. Diese Formel drückt eine Eigenschaft aus, die eine Zahl a haben oder auch nicht haben könnte — und unsere Absicht ist es, zu behaupten, daß alle Zahlen diese Eigenschaft haben. Das ist