Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

System sowohl widerspruchsfrei als auch vollständig sei (d. h., daß jeder wahre Satz der Zahlentheorie sich innerhalb des von P.M. abgesteckten Rahmens ableiten läßt). Das war eine gewaltige Herausforderung, und man konnte sie kritisieren, weil sie irgendwie zirkulär war. Wie kann man seine Beweismethoden auf der Grundlage eben dieser Beweismethoden rechtfertigen? Es ist, als wollte man sich an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen. (Wir kommen anscheinend von diesen Seltsamen Schleifen nicht weg!)
    Hilbert war sich dieses Dilemmas natürlich sehr wohl bewußt, und deshalb gab er der Hoffnung Ausdruck, daß ein Beweis der Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit gefunden werden könne, der nur auf „finitistischen“ Folgerungsmethoden beruhte. Das war eine kleine Anzahl von Methoden, die üblicherweise von Mathematikern akzeptiert wurden. Auf diese Weise, hoffte Hilbert, könne sich die Mathematik zum Teil an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen: Man könnte die Gesamtheit mathematischer Methoden als verläßlich ausweisen, indem man lediglich einegeringere Anzahl von Methoden anwende. Dieses Ziel mag ziemlich esoterisch erscheinen, aber es hat während der ersten dreißig Jahre dieses Jahrhunderts viele der bedeutendsten Mathematiker der Welt beschäftigt.
    Im einunddreißigsten Jahr jedoch veröffentlichte Gödel seine Arbeit, die in gewisser Weise Hilberts Programm völlig zerstörte. Sie zeigte nicht nur, daß es in dem axiomatischen System, das Russell und Whitehead vorgeschlagen hatten, nicht zu reparierende „Löcher“ gab, sondern allgemeiner, daß überhaupt kein axiomatisches System welcher Art auch immer alle Wahrheiten der Zahlentheorie produzieren kann, außer wenn es in sich widerspruchsvoll ist! Und schließlich erwies sich die Hoffnung, die Widerspruchsfreiheit eines Systems wie dem der P.M. zu beweisen, als eitel: Wenn ein solcher Beweis unter ausschließlicher Verwendung von innerhalb der P.M. verwendeten Methoden gefunden werden konnte, dann — und dies ist eine der verblüffendsten Folgen von Gödels Arbeit — wäre P.M. selbst widerspruchsvoll!
    Die letzte Ironie ist die, daß der Beweis von Gödels Unvollständigkeitssatz es nötig machte, das Paradox des Epimenides geradezu ins Herz der Principia Mathematica hineinzutragen, eine Festung, die angeblich gegen den Angriff von Seltsamen Schleifen gefeit war! Obgleich Gödels Seltsame Schleife Principia Mathematica nicht vernichtete, machte sie dieses Werk für die Mathematiker sehr viel uninteressanter, denn sie zeigte, daß die ursprüngliche Zielsetzung von Russell und Whitehead illusorisch war.
Babbage, Computer, Artifizielle Intelligenz ...
    Als Gödels Arbeit erschien, stand man unmittelbar vor der Entwicklung elektronischer Digitalcomputer. Nun war die Idee mechanischer Rechenmaschinen keineswegs neu. Im siebzehnten Jahrhundert hatten Pascal und Leibniz Maschinen entworfen, um feststehende Operationen (Addition und Multiplikation) ausführen zu können. Diese Maschinen hatten jedoch kein Gedächtnis und waren nicht — im heutigen Jargon programmierbar.
    Der erste, der die ungeheuren Möglichkeiten maschinellen Rechnens erkannte, war der Londoner Charles Babbage (1792-1871). Als Original, das beinahe den Nachgelassenen Aufzeichnungen des Pickwick-Klubs entsprungen sein könnte, war Babbage zu Lebzeiten vor allem wegen seiner heftigen Feldzüge gegen die Belästigungen in Londons Straßen, besonders durch Leierkastenmänner, berühmt. Diese Scheusale, immer dazu aufgelegt, ihm auf den Nerven herumzutrampeln, brachten ihm zu jeder Tages- und Nachtzeit Ständchen dar, und dann pflegte er sie wütend die Straße hinunterzujagen. Heute erkennen wir in Babbage einen Mann, der seiner Zeit hundert Jahre voraus war, nicht nur als Erfinder der grundlegenden Prinzipien des modernen Computers, sondern auch als einer der ersten, die akustische Umweltverschmutzung bekämpften.
    Seine erste Maschine, die „Difference Engine“, konnte vermöge der „Differenz-Methode“ verschiedenartige mathematische Tabellen erzeugen. Bevor jedoch ein Modell der „D.E.“ gebaut worden war, war Babbage von einer weit revolutionäreren Idee besessen: seiner „Analytical Engine“. Ziemlich unbescheiden schrieb er: „Der Weg, auf dem ich zu ihr gelangte, war wahrscheinlich der verworrenste undverwickeltste, der jemals den menschlichen Geist beschäftigt hat.“ 4 Ungleich jeder früher entworfenen Maschine, sollte die A.E. sowohl einen