Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

in TNT“ Angenommen G wäre ein S ATZ . Da S ATZ heit angeblich repräsentiert wird, wäre die TNT-Formel, die besagt „G ist ein S ATZ “ ein S ATZ von TNT. Diese Formel aber ist ~G, die Negation von G, so daß TNT widerspruchsvoll ist. Auf der anderen Seite: Nehmen wir an, daß G kein S ATZ wäre. Dann wäre wegen der angeblichen Darstellbarkeit der S ATZ heit die Formel, die behauptet: „G ist kein S ATZ “ ein S ATZ von TNT. Diese Formel ist jedoch G und wieder landen wir bei einer Paradoxie. Einen Ausweg daraus, wie vorher, gibt es nicht. Das Problem ergibt sich aus der Annahme, daß S ATZ heit durch eine Formel in TNT repräsentiert ist, und deshalb müssen wir noch einmal kehrt machen und diese Annahme ausradieren. Das zwingt uns auch zum Schluß, daß kein FlooP-Programm die Gödelnummer eines S ATZES von der eines Nicht-S ATZES zu unterscheiden weiß. Wenn wir schließlich die AI-Version der CT-These zitieren, müssen wir noch weiter zurückgehen und schließen, daß es keinerlei Methode geben könnte, mittels derer Menschen S ÄTZE auf zuverlässige Weise von Nicht-S ÄTZEN unterscheiden können — und das schließt auf Schönheit beruhende Entscheidungen ein. Wer sich an die öffentliche Version hält, könnte die Leistung des Krebses noch immer für möglich halten, aber von allen Versionen dürfte das diejenige sein, die zu rechtfertigen am schwierigsten ist.
Tarskis Satz
    Gehen wir zu Tarskis Satz über. Tarski fragte, ob es ein Möglichkeit gebe, innerhalb von TNT den Begriff der zahlentheoretischen Wahrheit auszudrücken. Daß S ATZ heit ausdrückbar ist (wenn auch nicht repräsentierbar), haben wir gesehen. Tarski war an der analogen, den Begriff der Wahrheit betreffenden Frage Interessiert. Genauer gesagt wollte er feststellen, ob es eine TNT-Formel mit einer einzigen freien Variablen a gibt, die so übersetzt werden kann:
    „Die Formel, deren Gödelnummer a ist, drückt eine Wahrheit aus.“
    Nehmen wir — mit Tarski — an, daß es eine solche gibt, die wir abgekürzt mit WAHR { a } bezeichnen wollen. Nun wollen wir das Diagonal-Vorgehen verwenden, um eine Formel zu finden, die von sich selber sagt, sie sei falsch. Wir kopieren das Vorgehen Gödels genau und fangen mit einem „Onkel“ an:
    ∃a :<~ WAHR { a }∧ ARITHMOQUINE { a '', a }>
    Nehmen wir an, die Gödelnummer des Onkels ist t. Wir arithmoquinieren nun genau diesen Onkel und erzeugen die Tarski-Formel T:
∃a :<~ WAHR { a }∧ ARITHMOQUINE { SSS ... SSS0 / a '', a }>
∃a :<~ WAHR { a }∧ ARITHMOQUINE {
∃a :<~ WAHR { a }∧ ARITHMOQUINE { SSS t S 's
    Wenn interpretiert, besagt diese:
    „Die Arithmoquinierung von t ist die
Gödelnummer einer falschen Aussage.“
    Da aber die Arithmoquinierung von t die Gödelnummer von T selbst ist, reproduziert Tarskis Formel T trefflich die Paradoxie von Epimenides innerhalb von TNT und sagt von sich selbst: „Ich bin eine Unwahrheit.“ Das führt natürlich zum Schluß, daß sie gleichzeitig wahr und falsch sein muß (oder gleichzeitig keines von beiden). Und daraus ergibt sich ein weiteres Problem: Was ist denn so schlimm, wenn man die Paradoxie des Epimenides reproduziert? Ist das überhaupt wichtig? Schließlich gibt es sie auch auf deutsch, und trotzdem hat sich die deutsche Sprache noch nicht in Rauch aufgelöst.
Die Unmöglichkeit des Magnifikrebs'
    Eine Antwort erhalten wir, wenn wir uns daran erinnern, daß es sich hier um zwei Bedeutungsebenen handelt; die eine haben wir soeben benutzt, die andere ist eine zahlentheoretische Aussage. Wenn es die Tarski-Formel T tatsächlich gäbe, dann wäre sie eine Aussage über natürliche Zahlen, die sowohl wahr als auch falsch ist! Hier liegt die Schwierigkeit. Während wir die auf deutsch formulierte Paradoxie unter den Teppich kehren können, indem wir sagen, daß ihr Inhalt (ihre Wahrheit) abstrakt ist, trifft das nicht mehr zu, wenn sie zu einer konkreten Aussage über Zahlen wird! Wenn uns das lächerlich vorkommt, dann müssen wir unsere Annahme fallen lassen, daß die Formel WAHR { a } existiert. So gibt es keine Möglichkeit, den Begriff der Wahrheit innerhalb von TNT auszudrücken. Man beachte, daß das die Wahrheit zu einer weit schwieriger zu erfassenden Eigenschaft macht als S ATZ heit, denn die ist ausdrückbar. Die gleichen Gründe wie vorher (wozu auch die Church-Turing-These, AI-Version, gehört) bringen uns zur folgenden Schlußfolgerung:
    Das Gehirn des Krebses kann genau so wenig ein Instrument zur Erkenntnis der