Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

psychologisch traumatisierende Situation. Wie auch immer. Die Babylonier hätten vielleicht fälschlicherweise angenommen, dass beide Felder 50 sar groß sind. Dies wäre eine einfache Ausgangssituation, außerdem wäre die Bedingung aus der zweiten Gleichung (x + y = 100) erfüllt. Doch die aus der ersten Gleichung nicht: Wenn beide Felder 50 sar groß wären, wäre die Differenz der Erträge (4 · 50) – (3 · 50) = 50. Fehlen uns also noch 140 bis zum benötigten Wert 190.
    Doch die Babylonier korrigierten ihre falschen Annahmen umgehend und suchten sich neue, besser passende. Sie wussten, dass sie y um eines senken mussten, wenn sie x um eins erhöhten, damit die zweite Gleichung weiter erfüllt blieb. Beschlossen sie also, es mal mit x = 51 zu probieren, senkten sie gleichzeitig y auf 49, weil 51 + 49 = 100.
     
    Hier die Ergebnisse des babylonischen Spiels aus Versuch und Irrtum:

    Bei jedem Versuch ist die Summe aus x und y gleich 100, die Bedingung aus der zweiten Gleichung ist also immer erfüllt.
    Wenn x in Einerschritten steigt, muss y parallel in Einerschritten fallen. Steigt x um eins, erhöht sich 4x um vier. Fällt y um eins, verringert sich 3y um drei.
    Da 4x in Viererschritten steigt und 3y in Dreierschritten sinkt und man 3y von 4x abzieht, muss 4x – 3y in Siebenerschritten
wachsen, da man bei der Bewegung in der Tabelle nach unten jeweils eine Zahl abzieht, die um drei kleiner ist als die vorherige, und zwar von einer Zahl, die um vier größer ist als die vorige.
    Mit ihrer anfänglichen Schätzung x und y gleich 50 fehlten den Babyloniern 140 auf die erforderlichen 190 sila Differenz (4x – 3y war nur 50). Nach ihrem Herumprobieren wissen sie, dass bei jeder Erhöhung von x um eins der Wert von 4x – 3y um sieben steigt. Nun müssen sie nur noch errechnen, wie viele Erhöhungen um sieben sie brauchen, um die Lücke von 140 zu schließen. Die Lösung lautet 20.
    Nach einer Erhöhung der ursprünglichen Schätzung von x um 20 (auf x = 70) und einer entsprechenden Senkung der ursprünglichen Schätzung von y um 20 (auf y = 30) haben sie ihre Aufgabe gelöst. Und genau so gingen sie vor. Das erste Feld hat eine Fläche von 70 sar , das zweite eine Fläche von 30 sar .
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    In einem Märchen kommen etliche Prinzen und Frösche vor. Insgesamt haben sie 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele Prinzen, wie viele Frösche sind es?

5 Die Logik hinter Gleichungssystemen
    Als ich schrieb, ich würde Ihnen die Qual ersparen, sich wie in der Schule mit den Methoden für die Lösung von Gleichungssystemen beschäftigen zu müssen, habe ich gelogen. Aber ich hoffe, Ihnen im Folgenden vermitteln zu können, dass diese Methoden auf den Prinzipien des gesunden Menschenverstands beruhen – genau wie die Methoden der alten Babylonier.
    Textaufgaben mit Flächen und Erträgen sind bei den Autoren von Schulbüchern heute nicht mehr so beliebt. In Mode sind die Preise von Tassen Tee und Kaffee. Aktuelle Aufgaben lauten etwa: Was kostet eine Tasse Tee und was kostet eine Tasse Kaffee, wenn eine Tasse Tee und eine Tasse Kaffee zusammen 100 Cent kosten und vier Tassen Kaffee und zwei Tassen Tee 280 Cent kosten?
    Setzt man x für den Preis einer Tasse Kaffee und y für den Preis einer Tasse Tee, können wir aus der Angabe zwei Gleichungen formulieren. Die erste lautet x + y = 100, die zweite lautet 4x + 2y = 280.
    In der Schule wird in solchen Fällen meistens gelehrt, die Gleichungen durch Eliminierung zu lösen. In einem ersten Schritt dreht man dafür so an den Gleichungen, dass die Zahlen vor einer der Variablen gleich sind. (Zahlen vor einer Variablen werden Koeffizienten genannt.)
    Aus der ersten Information (»Eine Tasse Kaffee und eine Tasse Tee kosten zusammen 100 Cent«) lassen sich weitere Schlüsse ziehen. So weiß man etwa, dass zwei Tassen Kaffee und zwei Tassen Tee zusammen 200 Cent kosten müssen, denn man hat seine Bestellung ja einfach verdoppelt. Drei Kaffee und drei
Tee machen dann natürlich 300 Cent, vier Kaffee und vier Tee 400 Cent.
    Jede dieser Aussagen entspricht einer Gleichung, in der jedes Element der ursprünglichen Gleichung mit der gleichen Zahl multipliziert wurde. Multipliziert man x + y = 100 auf beiden Seiten mit zwei, bekommt man 2x + 2y = 200, multipliziert man x + y = 100 auf beiden Seiten mit drei, bekommt man 3x + 3y = 300 und multipliziert man x + y = 100 auf beiden Seiten mit vier, bekommt man 4x + 4y = 400.
    Da all diese Aussagen das Gleiche bedeuten, darf man die