Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

ursprüngliche Aussage durch jede von ihnen ersetzen. Da das Ziel darin besteht, die erste Gleichung so zu verändern, dass die Koeffizienten vor einer der Variablen die gleichen sind, und der Koeffizient vor dem x in der zweiten Gleichung 4 ist, ersetzt man die Aussage »Ein Kaffee und ein Tee kosten zusammen 100 Cent« durch die Aussage »Vier Kaffee und vier Tee kosten zusammen 400 Cent«.
    Algebraisch entspricht das dem Ersetzen der Gleichung x + y = 100 durch die Gleichung 4x + 4y = 400. So schaffen wir eine Situation, wo in beiden Gleichungen der gleiche Koeffizient vor dem x steht. Damals im Schulheft hätte dieser Schritt etwa so ausgesehen:
    x + y = 100
(Gleichung I)
4x + 2y = 280
(Gleichung II)

4x + 4y = 400
(Gleichung I mal vier)
4x + 2y =280
(II)
    So weit, so gut. Man nutzt die zwei Informationen »Vier Kaffee und vier Tee kosten zusammen 400 Cent« und »Vier Kaffee und zwei Tee kosten zusammen 280 Cent«. Die erste Aussage verrät uns etwas über eine Bestellung von vier Tassen
Kaffee und vier Tassen Tee, die zweite Aussage etwas über eine Bestellung von vier Tassen Kaffee und nur zwei Tassen Tee. Die erste Bestellung umfasst zwei Tassen Tee mehr, dafür muss man auch 120 Cent mehr bezahlen. Folglich müssen die zwei Tees 120 Cent kosten.
    Dieser logische Schritt lässt sich auch algebraisch darstellen, als Subtraktion der zweiten Gleichung (4x + 2y = 280) von der ersten (4x + 4y = 400). Man erhält die einfachere Gleichung 2y = 120:

    Das ist das algebraische Gegenstück zum Vergleich, inwiefern sich die zwei Bestellungen unterschieden und den Mengenunterschied mit dem Preisunterschied zu vergleichen. Da man die gleiche Menge Kaffee bestellt hat (d. h. die gleiche Menge x), bekommt man eine Aussage (und eine Gleichung), die allein etwas über den Preis von Tee sagt.
    Ist man erst mal so weit, sind die Probleme fast erledigt. Wenn zwei Tee 120 Cent kosten, muss eine Tasse Tee 60 Cent kosten. Nun geht man zurück zu den Ausgangsinformationen und errechnet den Preis des Kaffees. Wenn ein Tee 60 Cent kostet und ein Tee und ein Kaffee zusammen 100 Cent kosten, dann muss eine Tasse Kaffee 40 Cent kosten. Wenn Sie wollen, können Sie überprüfen, ob mit diesen Werten auch die zweite Gleichung aufgeht. Wenn Tee 60 Cent kostet und Kaffee 40 Cent, dann kosten vier Kaffees und zwei Tees 280 Cent. Aufgabe gelöst.
    Wieder haben Sie sich allein von der Logik zur Lösung führen lassen. Doch in der Schule mussten Sie obige Denkschritte in algebraischer Form durchführen. Das wird ungefähr so ausgesehen haben:

    Einsetzen in Gleichung I:

    Probe in Gleichung II:

    60.
    Als Student haben Sie Ihre Finanzen durch Samenspenden aufgebessert. 40 Jahre später stellt sich heraus, dass Sie neben Ihrem ehelichen Sohn aufgrund dieser Spenden auch noch einen unehelichen Sohn haben. Sie beschließen, Ihr Testament zu ändern. Sie haben 10.000 Euro zu vererben, und Sie wünschen sich, dass ein Fünftel des Erbes Ihres ehelichen Sohns um 1100 Euro mehr beträgt als ein Viertel des Erbes jenes Sohns, von dem Sie gerade erst erfahren haben. Wie viel bekommt jeder Sohn?
    Ebenso gut könnte man natürlich auch die erste Gleichung so verändern, dass die Koeffizienten vor dem y die gleichen sind. In diesem Fall ersetzt man »Ein Kaffee und ein Tee kosten 100 Cent« durch »Zwei Kaffee und zwei Tee kosten 200 Cent«.
    Jetzt hat man zwei Aussagen: »Zwei Kaffee und zwei Tee kosten 200 Cent« und »Vier Kaffee und zwei Tee kosten 280 Cent«. Die zweite Bestellung umfasst zwei Tassen Kaffee mehr und kostet dafür auch 80 Cent mehr. Folglich kosten zwei Kaffee 80 Cent, ein Kaffee kostet 40 Cent. Wenn ein Kaffee 40 Cent kostet und ein Kaffee und ein Tee zusammen 100 Cent kosten, muss ein Tee 60 Cent kosten. Wenn ein Kaffee 40 Cent kostet und ein Tee 60, dann kosten vier Kaffees und zwei Tees zusammen
280 Cent. Damit haben Sie überprüft, ob für diese Preise auch die zweite Aussage stimmt.
    Algebraisch lässt sich die obige Argumentation so ausdrücken:
    x + y = 100
(Gleichung I)
4x + 2y = 280
(Gleichung II)

2x + 2y = 200
(Gleichung I mal zwei nehmen)
4x + 2y = 280
(Gleichung II)
    Gleichung II – I

    x in I einsetzen:

    Probe in II:

    Es tut mir leid, dass ich solche Aufgaben aus dem verwilderten Friedhof Ihres Gedächtnisses ausgraben musste, aber ich hoffe, Sie haben jetzt erkannt, dass die Methode zur Lösung von Gleichungssystemen auf einer Abfolge logischer Schritte beruht. Jeder Schritt wird von einer algebraischen Operation