Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

M. Da all diese Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann eingestellt wird, bei 3/4.
    Natürlich lässt sich die Aufgabe auch mit einem Baumdiagramm angehen. Das beginnt dann etwa so:

    Sie sehen aber schon, dass diese Methode in diesem Fall viel komplizierter ist als das einfache Auflisten. Am Ende kommen Sie auch mit ihr ans Ziel, aber bis dahin müssen Sie eine Menge Äste zeichnen.
    Wenden wir uns nun wieder den Würfeln zu. Bei einem Brettspiel wird mit zwei Würfeln gewürfelt und die Differenz der beiden Augenzahlen berechnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Differenz von null? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Differenz von null oder zwei? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz eine gerade oder eine Quadratzahl ist?
    Wie gehabt, sollten Sie als Erstes alle möglichen Ereignisse ermitteln. Sie könnten sie wie zuvor auflisten, aber da es doch ziemlich viele gibt, laufen Sie Gefahr, welche zu vergessen. Sie könnten auch ein Baumdiagramm verwenden, aber es würde, wie eben schon, verwirrend viele Äste haben. Am besten zeichnen Sie daher eine Tabelle mit den möglichen Ereignissen. Sie notieren gleich die Differenz der Augenzahlen:

    Mit dieser Tabelle stellen Sie sicher, dass Sie keine Möglichkeit vergessen haben. Wieder gibt es 36 Möglichkeiten, wobei viele Kombinationen verschiedener Augenzahlen die gleiche Differenz ergeben (zum Beispiel führt eine 4 beim ersten Würfel und eine 3 beim zweiten Würfel zur gleichen Differenz wie eine 5 beim ersten und eine 6 beim zweiten Würfel).
    Da alle Ereignisse in der Tabelle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse errechnen. Es gibt sechs Möglichkeiten für eine Differenz von null, folglich ist die Wahrscheinlichkeit 6/36.
    Es gibt acht Möglichkeiten für eine Differenz von zwei Augen, die Wahrscheinlichkeit dafür liegt also bei 8/36. Folglich gibt es 6 + 8 (gleich 14) Möglichkeiten, eine Differenz von null oder zwei zu bekommen. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, eine Differenz von null oder zwei zu erhalten, gleich der Wahrscheinlichkeit, eine Null zu bekommen, plus die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu bekommen (14/36 = 6/36 + 8/36). Das liegt daran, dass es unmöglich ist, beide Bedingungen gleichzeitig zu erfüllen. Es gibt keine Kombination von Augenzahlen, bei denen die Differenz gleichzeitig null und zwei ist. Wenn dies der Fall ist, heißen zwei Ereignisse »disjunkt«.

    Bei der Antwort auf die dritte Frage müssen Sie ein bisschen aufpassen. Die Differenz ist eine gerade Zahl, wenn sie 0, 2 oder 4 beträgt, was in 18 von 36 Fällen erfüllt ist. Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Differenz liegt also bei 18/36 oder ½. Wann ist die Differenz eine Quadratzahl? Von den auftretenden Differenzen sind die 0 (0 2 ), die 1 (1 2 ) und die 4 (2 2 ) Quadratzahlen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz zweier Augenzahlen eine Quadratzahl ist, lässt sich damit als 20/36 berechnen. Um die Wahrscheinlichkeit für eine Differenz, die entweder eine gerade Zahl oder eine Quadratzahl ist, zu ermitteln, dürfen Sie jetzt aber nicht die beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnen. Wenn Sie das tun, zählen die Ereignisse, bei denen eine Differenz von null oder vier auftritt, doppelt. In diesem Fall sind die beiden Ereignisse also nicht disjunkt: Es gibt Fälle, in denen die Differenz der Augenzahlen sowohl eine gerade Zahl als auch eine Quadratzahl ist. Wenn Sie einfach in der Tabelle mit den möglichen Ereignissen die Felder markieren, in denen die Differenz eine gerade Zahl oder eine Quadratzahl ist, kommen sie auf 2 8 markierte Felder. Also ist die Wahrscheinlichkeit für eine solche Differenz 28/36:

    75.
    Sechs Männer und zwölf Frauen warten beim Friseur. Die Hälfte der Männer und die Hälfte der Frauen haben graue Haare. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person entweder ein Mann, grauhaarig oder beides ist?
    Und jetzt zu Kugeln in Urnen. Eine Urne enthält drei rote und fünf blaue Kugeln. Sie ziehen blind eine Kugel, notieren ihre Farbe und legen die Kugel wieder zurück. Dann ziehen Sie erneut blind eine Kugel und notieren die Farbe. Wie groß ist die Chance, dass Sie zwei rote Kugeln gezogen haben? Wie groß ist die Chance, dass Sie eine blaue und eine rote Kugel gezogen haben (die Reihenfolge spielt keine Rolle)?
    Wie immer, muss man