Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

25 Wochenenden war der Samstag schön, aber der Sonntag mies, an 25 der Samstag regnerisch, aber der Sonntag trocken, und an 25 Wochenenden kam gar kein Niederschlag herunter. In anderen Worten: All diese Möglichkeiten erwarten wir 25 von 100-mal, was bedeutet, dass ihre Wahrscheinlichkeit 1/4 beträgt. Hier noch einmal das Baumdiagramm, diesmal mit dieser neuen Information:

    Als Erstes fällt auf, dass man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis nach einem anderen auftritt, ermitteln kann, indem man die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der zwei Ereignisse miteinander multipliziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass es an Samstag und Sonntag regnet, liegt beispielsweise bei ¼. Das ist das Ergebnis der Multiplikation der Regenwahrscheinlichkeit für Samstag (½) und der Regenwahrscheinlich – keit für Sonntag (½). ½ · ½ = ¼
    Die Erklärung dafür folgt aus den obigen Ausführungen. Dort haben wir gesehen: Nimmt man hundert Wochenenden mit einer Regenwahrscheinlichkeit für Samstag von ½ und einer Regenwahrscheinlichkeit für Sonntag von ebenfalls ½, dann darf man in ½ · (½ · 100) oder 25 Fällen ein komplett verregnetes Wochenende erwarten. Diese Argumentation gilt unabhängig von der Zahl der betrachteten Wochenenden. Wenn wir 20 Wochenenden betrachten, erwarten wir in ½ · (½ · 20) oder 5 Fällen ein komplett verregnetes Wochenende. Betrachten wir 5000 Wochenenden, erwarten wir ½ · (½ · 5000) oder 1250 komplett verregnete Wochenenden. In all diesen Fällen werden die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert, wir dürfen also ganz allgemein sagen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es an beiden Tagen regnet, ½ · ½ ist.
    Zweitens wird klar, dass der Wetteransager unrecht hatte. Denn mit einer Wahrscheinlichkeit von ¼ bleibt es an beiden Tagen des Wochenendes trocken. Er hätte also ankündigen müssen, dass
es mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 Prozent an mindestens einem Tag des Wochenendes regnen würde. Denn bei drei von vier möglichen Wetterkombinationen regnet es mindestens an einem Tag des Wochenendes, und jede dieser Kombinationen tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 Prozent ein.
    Allerdings befindet sich der Wetteransager mit seinem Irrtum in guter Gesellschaft. Selbst vielen Mathematikern ist der gleiche Fehler unterlaufen. Signor Cardano etwa, der an der Berechnung scheiterte, wie oft man würfeln muss, um mit einer 50-prozentigen Chance mindestens eine Sechs zu bekommen. Cardano kam zwar auf eine Lösung, aber die war falsch. Er dachte, da die Chance, bei einmaligem Würfeln eine Sechs zu bekommen, bei ⅙ liegt, müsse die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bei zwei Würfen beiund für eine Sechs bei drei Wür – fen bei(oder ½) liegen.
    Dabei unterlief ihm genau der gleiche Fehler wie dem Wetteransager. Er kann unmöglich recht haben, denn nach seiner Logik müsste nach sechs Würfen die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Sechs gewürfelt zu haben, bei 6/6 liegen. Anders gesagt: Cardano behauptet, bei sechs Würfen müsse mit Sicherheit mindestens ein Sechser dabei sein. Aus Erfahrung wissen wir aber, dass das nicht stimmt. Es ist uns allen schon passiert, dass wir Ewigkeiten (mehr als sechs Runden lang) auf eine Sechs warten mussten.

6 Zurück ins Klassenzimmer
    Nun, da uns Ereignistabellen, Wahrscheinlichkeitsbäume und kombinierte Wahrscheinlichkeiten kein Mysterium mehr sind, können wir uns einigen jener Aufgaben mit Bonbons und Murmeln und Würfeln und Kugeln in Urnen zuwenden, von denen es in Lehrbüchern nur so wimmelt.
    Nach mehreren Runden im Bewerbungsverfahren um drei Posten hat ein Unternehmen die Zahl der Kandidaten auf vier reduziert, drei Frauen und einen Mann. Zwischen denen kann sich die Personalabteilung aber nicht entscheiden, deshalb beschließt sie, die Namen der Kandidaten auf Zettel zu schreiben, in einen Hut zu legen und blind drei Namen zu ziehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann zu den Ausgewählten gehört?
    Bei jeder Wahrscheinlichkeitsaufgabe muss man als Erstes die möglichen Ereignisse ermitteln, anhand der dafür am besten geeigneten Technik. In unserem Fall ist es am einfachsten, alle Kombinationen von drei Namen aufzulisten, die gezogen werden können (wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt). Nennen wir die Bewerber F1, F2, F3 und M, dann gibt es nur vier verschiedene Kombinationen von Bewerbern, die gezogen werden können: F1, F2, F3; F1, F2, M; F1, F3, M oder F2, F3,