Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

zuerst die möglichen Ereignisse ermitteln. Dafür stehen Ihnen verschiedene Möglichkeiten offen. Sie könnten die roten Kugeln R1, R2 und R3 nennen und die blauen B1, B2, B3, B4 und B5, und dann alle möglichen Ereignisse mit diesen Kugeln auflisten, Sie könnten eine Tabelle mit den Ereignissen oder ein Baumdiagramm zeichnen. Da Sie aber allein an der Farbe der Kugeln interessiert sind, würde ein solches Vorgehen eine Masse überflüssiger Information erzeugen. Sie brauchen ja gar nicht zu wissen, welche rote oder blaue Kugel nun genau gezogen wurde, nur die Farbe zählt.
    Folglich dürfen Sie die Aufgabe vereinfachen. Weiterhin lassen sich mehrere Ansätze verwenden: Sie könnten die möglichen Farbkombinationen auflisten (RR, RB, BR, BB) und sie in einer Tabelle darstellen:

    oder ein Baumdiagramm erstellen:

    Sie können sich aussuchen, was Ihnen besser gefällt. Allerdings sollten Sie sich bewusst sein, dass die unterschiedlichen Möglichkeiten nicht gleich wahrscheinlich sind, schließlich gibt es weniger rote als blaue Kugeln. Diese Aufgabe ist schwieriger als die bisherigen. Tatsächlich liegt die Chance, zufällig eine rote Kugel zu ziehen, bei 3/8 und die Chance für eine blaue bei 5/8. Diese Information spiegelt das oben abgebildete Baumdiagramm bereits wider.
    Von dort ausgehend, lässt sich die Aufgabe problemlos lösen. Denn Sie wissen ja, dass man die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für mehrere Ereignisse miteinander multiplizieren muss, wenn man die Wahrscheinlichkeit dafür sucht, dass diese Ereignisse aufeinander folgen. Deshalb liegt die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, bei 3/8 · 3/8 gleich 9/64. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine blaue Kugel (in beliebiger Reihenfolge) zu ziehen, entspricht der Summe aus der Wahrscheinlichkeit,
erst eine rote und dann eine blaue sowie der Wahrscheinlichkeit, erst eine blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen: (3/8 · 5/8) + (5/8 · 3/8) gleich 30/64.
    Eine weitere Komplikation ergibt sich, wenn man die erste gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurücklegt. Bisher hatte das erste Ereignis (als Erstes wird eine rote oder blaue Kugel gezogen) keine Auswirkungen auf das zweite Ereignis. In einem solchen Fall heißen die beiden Ereignisse voneinander unabhängig. Legt man die zuerst gezogene Kugel aber nicht zurück, wirkt sich das Resultat der ersten Ziehung auf die zweite Ziehung aus. Zieht man zuerst eine rote Kugel, verbleiben nur noch zwei rote und fünf blaue Kugeln in der Urne. Die Chance, auch in der zweiten Runde eine rote Kugel zu ziehen, liegt dann bei 2/7, die Chance auf eine blaue Kugel bei 5/7. Zieht man hingegen als Erstes eine blaue Kugel, stehen die Chance auf eine rote Kugel in der zweiten Runde bei 3/7 und die Chance auf eine blaue Kugel in der zweiten Runde bei 4/7. Die Farbe der in der ersten Runde gezogenen Kugel beeinflusst die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse in der zweiten Runde. Die zwei Ereignisse sind in diesem Fall stochastisch voneinander abhängig.
    Klingt jetzt hochtrabend – doch lösen können Sie die Aufgabe weiter auf die alte Art. Legt man die zuerst gezogene Kugel nicht zurück, sieht das Baumdiagramm so aus:

    Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt nun 3/8 · 2/7 (gleich 6/56) und die Wahrscheinlichkeit, eine
rote und eine blaue Kugel (in beliebiger Reihenfolge) zu ziehen, (3/8 · 5/7) + (5/8 · 3/7), was 30/56 entspricht.
    76.
    Eine Urne enthält zehn Bohnen. Sieben Bohnen sind schwarz, die restlichen drei rot. Eine Bohne wird gezogen, ihre Farbe wird notiert. Sie wird nicht zurückgelegt. Eine zweite Bohne wird gezogen, ihre Farbe wird notiert. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, zwei Bohnen der gleichen Farbe zu ziehen.
    Draußen wandern die Schatten schon über die schäbigen Autos der Lehrer und die weggeworfenen Bonbonpapierchen auf dem Boden. Ein, zwei Sechstklässler schleichen sich bereits vom Schulgelände, während das Ende des Schultags näher rückt.
    Das Klassenzimmer ist in künstliches gelbes Licht getaucht, als glaubten die höheren Mächte, die ihre Büros in den verbotenen Korridoren haben, die Müdigkeit ließe sich allein durch Helligkeit vertreiben. Die Uhr zeigt, dass noch zehn Minuten übrig bleiben. Alle Schüler (Bernadette vielleicht ausgenommen) sehnen den Schulschluss herbei und horchen, ob andere Klassen vorzeitig entlassen werden.
    Die wenigen letzten Minuten scheinen so überflüssig. Irgendwann gehen auch sie vorbei. Aber lernen tut