Menschliche Kommunikation

Kommunikationsforschung überhaupt zu existieren begann. Im Prinzip geht die Arbeit auf diesem mathematischen Gebiet auf Schröder (1895), Löwenheim (1915) und besonders Hilbert (1918)
zurück. Die Beweistheorie oder Metamathematik war damals das
höchst abstrakte Anliegen einer kleinen, aber brillanten Gruppe
von Fachleuten, die sozusagen außerhalb der Hauptströmung
mathematischer Forschung standen. Zwei Ereignisse machten
schließlich die Beweislehre zu einem der Mittelpunkte mathematischen Interesses. Das eine war die Veröffentlichung von Gödels epochaler Arbeit über formal unentscheidbare Sätze [52] - eine
Arbeit, die von der Fakultät der Harvard-Universität als der
bedeutsamste Fortschritt auf dem Gebiet der mathematischen
Logik in einem Vierteljahrhundert bezeichnet wurde. Das andere
ist die fast explosive Entwicklung der Elektronengehirne seit
dem Ende des Zweiten Weltkriegs. Diese Maschinen durchliefen
einen sehr raschen Werdegang von starr programmierten Automaten zu höchst vielseitigen künstlichen Organismen, die grundlegende beweistheoretische Probleme aufzuwerfen begannen, als
ihre Komplexität einen Grad erreicht hatte, der es ermöglichte,
diese Maschinen selbst von verschiedenen Rechenverfahren das
beste wählen zu lassen. Damit erhob sich die Frage, ob Maschinen gebaut werden können, die nicht nur ein Programm ausführen, sondern gleichzeitig auch imstande sind, Änderungen in
ihrem Programm vorzunehmen - also ihre eigenen Prämissen zu
ändern.

    In der Beweislehre bezieht sich der Begriff Entscheidungsverfahren auf die Methoden der Beweisfindung für die Wahrheit
oder Falschheit eines Satzes - oder einer Klasse von Sätzen -
innerhalb eines gegebenen formalen Systems. Der damit zusammenhängende Begriff Entscheidungsproblem bezieht sich auf
die Frage, ob in einem gegebenen Fall ein Verfahren der eben
beschriebenen Art besteht oder nicht. Ein Entscheidungsproblem hat daher eine positive Lösung, wenn ein Entscheidungsverfahren dafür gefunden werden kann, während eine negative
Lösung in dem Nachweis besteht, dass kein Entscheidungsverfahren existiert. Entscheidungsprobleme sind deshalb entweder
lösbar oder unlösbar.
    Nun gibt es aber noch eine dritte Möglichkeit. Endgültige
(positive oder negative) Lösungen eines Entscheidungsproblems
sind nur dann möglich, wenn das betreffende Problem innerhalb
der Domäne (dem Bereich der Anwendbarkeit) des betreffenden
Entscheidungsverfahrens liegt. Wenn das Verfahren dagegen auf
ein Problem außerhalb seiner Domäne angewendet wird, muss
die Berechnung endlos weitergehen, ohne jemals den Beweis zu liefern, dass keine Lösung möglich ist.4 An dieser Stelle begegnen wir also wiederum dem Begriff der Unentscheidbarkeit.

    8.62 Dies ist der Kernbegriff von Gödels oben erwähnter Arbeit über formal unentscheidbare Sätze. Das von ihm für die Ableitung seines Theorems gewählte System sind die Principia Mathematica [159], das monumentale Werk von Whitehead und Russell, das die Grundlagen der Mathematik erforscht. Gödel konnte nachweisen, dass in diesem oder einem äquivalenten System ein Satz, G, geformt werden kann, der sich erstens aus den Prämissen und Axiomen des Systems folgerichtig ableiten lässt, aber zweitens von sich aussagt, dass er unbeweisbar ist. Wenn aber sowohl Beweisbarkeit als auch Unbeweisbarkeit aus dem System abgeleitet werden können und die Axiome des Systems selbst widerspruchsfrei sind (was ein Teil von Gödels Nachweis ist), so ist G innerhalb des Systems unentscheidbar - genau wie die paradoxe Voraussage in Abschnitt 6.441 innerhalb ihres «Systems» (d. h. der Ankündigung des Schuldirektors und des Kontextes, in dem sie gemacht wird) unentscheidbar ist.' Die Folgerungen aus Gödels Beweis gehen weit über das Gebiet der mathematischen Logik hinaus; es ist damit vielmehr ein für allemal bewiesen, dass jedes beliebige formale System (Mathematik, Logik usw.) notwendigerweise im oben erwähnten Sinne unvollständig sein muss und dass überdies die Widerspruchsfreiheit eines solchen Systems nur unter Zuhilfenahme von Verfahren bewiesen werden kann, die allgemeiner als jene sind, die das System selbst hervorzubringen vermag.

    8.63 Wenn wir etwas länger bei Gödels Arbeit verweilten, so deshalb, weil wir in ihr die mathematische Analogie dessen sehen, was wir die Paradoxie der menschlichen Existenz nennen möchten. Der Mensch ist schließlich Subjekt und Objekt seiner Suche. Während die