Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

BE.

    Wegen der Ähnlichkeit beider Dreiecke gilt folgende Relation:

    Wir setzen nun a und d in die Gleichung ein und erhalten:

    Daraus ergibt sich:

    Diese Gleichung hat die positive Lösung:

    Weiter geht’s mit der Höhe h des Fünfecks, die der Strecke AD entspricht. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

    Wir sind gleich fertig. Wir haben bereits ausgerechnet, wie lang d und h in Abhängigkeit von a sind. Es fehlt noch die Formel für den Radius r vom Umkreis unseres Fünfecks.

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt für das Dreieck BDM:

    Dies stellen wir nach r um:

    Nun setzen wir den Ausdruck in diese Gleichung ein und erhalten den nicht gerade simplen Ausdruck:

    Wir müssen nun noch zeigen, dass diese Beziehung zwischen r und a identisch ist zu der, die wir bei der Konstruktion der Fünfeckseite auf Seite 49 ausgerechnet haben. Diese lautet:

    Wir stellen die obere Gleichung nach a um und quadrieren sie anschließend:

    Es bleibt zu zeigen, dass

    gilt. Dies folgt aus einer kurzen Rechnung, bei der man mit beiden Nennern multipliziert:

    Damit haben wir gezeigt, dass die Beziehung zwischen a und r, wie wir sie bei unserer Konstruktion erhalten, tatsächlich für das regelmäßige Fünfeck zutrifft. Also führt diese Konstruktion auch automatisch zum gesuchten Pentagon.

Lösungen
    Aufgabe 1   *  
    Die Summe von vier natürlichen Zahlen ist eine ungerade Zahl. Beweisen Sie, dass das Produkt dieser vier Zahlen dann eine gerade Zahl ist.
    Alle vier Zahlen können nicht ungerade sein, denn dann wäre ihre Summe gerade. Deshalb ist mindestens eine der vier Zahlen gerade – und damit auch das Produkt der vier Zahlen.
    Aufgabe 2   **  
    Karin hat 7 Tafeln Schokolade: 4 Vollmilch, 2 Zartbitter und 1 Nuss. Sie möchte 3 Tafeln ihrem Freund geben und 4 behalten. Wie viele Varianten gibt es?

    Karin muss aus den 7 Tafeln 3 aussuchen und weggeben. Es gibt dafür insgesamt 6 Varianten:
     
1 Nuss + 2 Zartbitter
1 Nuss + 2 Vollmilch
1 Nuss + Vollmilch + Zartbitter
2 Zartbitter + Vollmilch
1 Zartbitter + 2 Vollmilch
3 Vollmilch
    Aufgabe 3   ***  
    Beweisen Sie folgenden Rechentrick für die Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen, deren Zehner gleich sind und deren Einer zusammen 10 ergeben. Wir rechnen Zehner × (Zehner +1) und hängen daran zweistellig das Produkt der beiden Einer an.
    a und b sind einstellige natürliche Zahlen (a   >   0), 10a   +   b und 10a   +   10   –   b sind die beiden gegebenen Zahlen. Wir rechnen:

    Das Ergebnis entspricht genau der Rechenvorschrift, denn b und 10   –   b sind die Einer, die wir miteinander multiplizieren.
    Aufgabe 4   ***  
    Die Zehner zweier zweistelliger Zahlen ergänzen sich zu 10, die Einer sind gleich. Warum funktioniert folgender Trick zur Berechnung des Produkts? Wir multiplizieren die Zehner und addieren dazu die Einerziffer. An das Ergebnis hängen wir dann zweiziffrig das Quadrat der Einer.
    a und b sind einstellige natürliche Zahlen (a   >   0), 10a   +   b und 10   (   10   –   a   )   +   b sind die beiden gegebenen Zahlen. Wir rechnen:

    Das Ergebnis entspricht genau der verwendeten Rechenformel, denn a und 10   –   a sind die Zehner der beiden Zahlen.
    Aufgabe 5   ****  
    Beweisen Sie den Rechentrick für die Multiplikation einer Schnapszahl mit 9:

    a soll die Ziffer der Schnapszahl sein. Dann lautet die Multiplikationsaufgabe:

    Das Produkt 9a ist für 1<   a<   10 eine zweistellige Zahl, wobei der Zehner a   –   1 ist und der Einer 10   –   a. Wenn a   =   1 ist, ist der Zehner a   –   1   =   0, also ist die Zahl einstellig.
    Wir setzen 9a   =   10   (a   –   1)   +   10   –   a in die Gleichung ein und beginnen ganz rechts, die Zehnerpotenzen neu zu sortieren. Als Einer bleibt dort 10   –   a stehen, der Term (a    –1)   ×   10 rutscht nach links zu den Zehnern und wird dort zu a   –   1. Bei den Zehnern steht nun ebenfalls 10   (a   –   1)   +   10   –   a, wobei 10   (a   –   1) zu den Hundertern rutscht und dort zu a   –   1 wird. Vor der 10 steht 10   –   a plus der von den Einern hinübergerutschte Term a   –   1. Die Summe aus beiden ergibt 9! Und so verhält es sich auch bei allen übrigen Zehnerpotenzen links daneben – überall summieren sich 10   –   a und a   –   1 zu 9. Aus dem Ausdruck ganz links 9a   ×   10 n wird so ebenfalls eine 9, zusätzlich ist aber eine neue Zehnerpotenz entstanden,